www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Positiv definite Bilinearform
Positiv definite Bilinearform < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Positiv definite Bilinearform: editiert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mo 02.08.2010
Autor: Master_X

Hallo,
ich habe die symmetrische Bilinearform
<u,v> = [mm] \int_{\Omega} \nabla [/mm] u [mm] \nabla [/mm] v  [mm] \quad v\in H_0^{1} [/mm]
und denke, dass diese auch positiv definit ist.

kann mir das jemand bestätigen?

danke

EDIT:
$ [mm] \Omega \subset \IR^n, [/mm] $ mit Lipschitz-Rand.
$ [mm] H_0^1 [/mm] $ ist der Sobolev Raum $ [mm] H^1 [/mm] $ (über $ [mm] L^2), [/mm] $ mit Null-Rändern im Spur Sinn.
u,v $ [mm] \in H_0^1. [/mm] $
$ [mm] \nabla [/mm] $ ist der Gradient und und $ [mm] \nabla [/mm] $ u, $ [mm] \nabla [/mm] $ v sind mit dem euklidischen Skalarprodukt verknüpft.

Lösung:
Damit sind dann auch $ [mm] u_x, u_y, v_x, v_y \in L^2. [/mm] $
Damit ist dann der Integrand eine Summe von n $ [mm] L^2- [/mm] $ Skalarprodukten, weshalb die positive Definitheit gewährleistet ist.

Also ist <u,v> ein Skalarprodukt.


        
Bezug
Positiv definite Bilinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:30 Di 03.08.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  ich habe die symmetrische Bilinearform
>  <u,v> = [mm]\int_{\Omega} \nabla[/mm] u [mm]\nabla[/mm] v  [mm]\quad v\in H_0^{1}[/mm]

>  
> und denke, dass diese auch positiv definit ist.

Hallo,

dann wäre es sicher geschickt, uns Deine Überlegungen dazu mitzuteilen.

Sinnvoll wäre es sicher auch, wenn Du uns sagen würdest, was die Buchstaben bedeuten, also [mm] \Omega, H_0^1, [/mm] welcher Menge u entstammt, und ggf. auch , ob mit [mm] \nabla [/mm] der Nablaoperator gemeint ist oder irgendetwas anderes.
Wie sind [mm] \nabla [/mm] u und [mm] \nabla [/mm] v miteinander verknüpft? Was ist die Integrationsvariable? (Oder stelle ich mich gerade etwas dumm an?)

Gruß v. Angela


>
> kann mir das jemand bestätigen?


>  
> danke
>  


Bezug
        
Bezug
Positiv definite Bilinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Di 03.08.2010
Autor: Master_X

[mm] \Omega \subset \IR^n, [/mm] mit Lipschitz-Rand.
[mm] H_0^1 [/mm] ist der Sobolev Raum [mm] H^1 [/mm] (über [mm] L^2), [/mm] mit Null-Rändern im Spur Sinn.
u,v [mm] \in H_0^1. [/mm]
[mm] \nabla [/mm] ist der Gradient und und [mm] \nabla [/mm] u, [mm] \nabla [/mm] v sind mit dem euklidischen Skalarprodukt verknüpft.

Lösung:
Damit sind dann auch [mm] u_x, u_y, v_x, v_y \in L^2. [/mm]
Damit ist dann der Integrand eine Summe von n [mm] L^2- [/mm] Skalarprodukten, weshalb die positive Definitheit gewährleistet ist.

Also ist <u,v> ein Skalarprodukt.






Bezug
        
Bezug
Positiv definite Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Di 03.08.2010
Autor: pelzig

Also ohne jetzt auf die Details einzugehen: aus [mm] $$\langle u,u\rangle=\int_\Omega\|\nabla u\|_2^2\ [/mm] dx=0$$ folgt wegen der Positivität des Integranden [mm]\nabla u = 0[/mm] fast überall, also [mm] $u=\operatorname{const}$ [/mm] fast überall. Jetzt benutze, dass die Spur von $u$ verschwindet um zu folgern [mm] $u=\operatorname{const}=0$ [/mm] fast überall.

Gruß, Robert

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]