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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | a)Die Menge der 2x2 - Matrizen mit Koeffizienten in [mm] \IQ [/mm] bildet einen Ring M bzgl. komponentenweiser Addition und Matrizenmultipli. Gibt es ein n [mm] \in\IN, [/mm] so dass M isomorph ist zum Polynomring [mm] \IQ[X_{1},...,X_{n}] [/mm] ?
b) Ist die Menge der invertierbaren Elemente von [mm] \IQ[X_{1},...,X_{n}] [/mm] ein Ideal in [mm] \IQ[X_{1},...,X_{n}] [/mm] ? |
Hallo alle zusammen,
kann jemand mir bei dieser Aufgabe unter die Arme greifen ? Bin dankbar für jeden Tipp. Danke !
zu a) Also theoretisch wäre die einzige mögliche Wahl n=4. Aber die Matrizenmult. ist ganz anderes als die der Polynome, deswegen wird es wohl keinen Isomorphismus geben, aber wie beweist man das ?
zu b) f invertierbar => f*g=1 => grad(f)+grad(g)=0, da [mm] \IQ [/mm] Integr.Ring ist und damit auch der Polynomring
=> grad f=grad g=0 => [mm] f\in\IQ
[/mm]
[mm] \IQ [/mm] ist aber kein Ideal in [mm] \IQ[X_{1},...,X_{n}], [/mm] denn es gilt [mm] 1\in\IQ, X\in\IQ[X_{1},...,X_{n}], [/mm] aber [mm] X\not\in \IQ. [/mm]
Ist das richtig ?
Falls [mm] \IQ [/mm] ein echtes Ideal wäre, dann wäre es auch ein Widerspruch zu dem Satz: S Unterring und Ideal von R => R = S.
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Fry |
Sehe gerade, dass ich Müll aufgeschrieben habe, das Einselement ist ja nicht die 1 sondern das Polynom [mm] 1+1X+...1X^{n}... [/mm] wäre auch zu schön gewesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Di 08.01.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> a)Die Menge der 2x2 - Matrizen mit Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm]
> bildet einen Ring M bzgl. komponentenweiser Addition und
> Matrizenmultipli. Gibt es ein n [mm]\in\IN,[/mm] so dass M isomorph
> ist zum Polynomring [mm]\IQ[X_{1},...,X_{n}][/mm] ?
> b) Ist die Menge der invertierbaren Elemente von
> [mm]\IQ[X_{1},...,X_{n}][/mm] ein Ideal in [mm]\IQ[X_{1},...,X_{n}][/mm] ?
> kann jemand mir bei dieser Aufgabe unter die Arme greifen ?
> zu a) Also theoretisch wäre die einzige mögliche Wahl n=4.
Das müßte man vielleicht noch mal begründen.
> Aber die Matrizenmult. ist ganz anderes als die der
> Polynome, deswegen wird es wohl keinen Isomorphismus geben,
> aber wie beweist man das ?
Eine Matrix genügt einer Polynomgleichung (Satz von Cayley-Hamilton). Die [mm] X_{i} [/mm] aus deinem Polynomring tun das aber gerade nicht. Ein Isomorphismus würde aber die eine Gleichung in die andere überführen.
> zu b) f invertierbar => f*g=1 => grad(f)+grad(g)=0, da [mm]\IQ[/mm]
> Integr.Ring ist und damit auch der Polynomring
> => grad f=grad g=0 => [mm]f\in\IQ[/mm]
>
> [mm]\IQ[/mm] ist aber kein Ideal in [mm]\IQ[X_{1},...,X_{n}],[/mm] denn es
> gilt [mm]1\in\IQ, X\in\IQ[X_{1},...,X_{n}],[/mm] aber [mm]X\not\in \IQ.[/mm]
>
> Ist das richtig ?
Überleg dir doch einfach, daß in einem kommutativen Ring jedes Ideal, das eine Einheit enthält, der ganze Ring sein muß. Aber du hast gerade gezeigt, daß die Einheiten in einem Polynomring die Einheiten des Grundkörpers sind, also die Konstanten [mm] \not= [/mm] 0.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Di 08.01.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo
Kann es sein, dass trotzdem [mm] \IQ [/mm] * = [mm] \IQ [/mm] \ {0} das gesuchte Ideal ist ?
Schließlich ist allgemein bei Polynomringen so, dass gilt: R[X]* = R*. Und dann wäre es wirklich kein Ideal mit der Begründung, die du schon genannt hast, dass kein echtes Ideal eine Einheit enthält ?
VG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 08.01.2008 | | Autor: | statler |
> Hallo
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> Kann es sein, dass trotzdem [mm]\IQ[/mm] * = [mm]\IQ[/mm] \ {0} das gesuchte
> Ideal ist ?
Nein, siehe Mitteilung unten.
> Schließlich ist allgemein bei Polynomringen so, dass gilt:
> R[X]* = R*. Und dann wäre es wirklich kein Ideal mit der
> Begründung, die du schon genannt hast, dass kein echtes
> Ideal eine Einheit enthält ?
Ciao
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:23 Di 08.01.2008 | | Autor: | Fry |
Hi.
Vielen Dank für deine Antwort, hat mir sehr geholfen, aber könntest du mir
nochmal erklären, wie ich mir das mit der Überführung der Gleichung vorstellen muss ? Also nach dem Satz von C.-H. gilt ja für das charakteristische Polynom p zu einer Matrix A: p(A) = 0. Wie würde/müsste dann die Gleichung nach Anwendung des Isomorphismus aussehen ?
Danke !
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Do 10.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Di 08.01.2008 | | Autor: | Fry |
Kann es sein, dass trotzdem [mm] \IQ [/mm] * = [mm] \IQ [/mm] \ {0} das gesuchte Ideal ist ?
Schließlich ist allgemein bei Polynomringen, die Integr.Ring sind, so, dass gilt: R[X]* = R*. Und dann wäre es wirklich kein Ideal mit der Begründung, die du schon genannt hast, dass kein echtes Ideal eine Einheit enthält ?
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Di 08.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
in einem Ideal liegt immer die 0, weil es ja auch eine Untergruppe ist. Und die 0 ist nie eine Einheit.
Gruß
Dieter
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