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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 So 01.06.2008 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich habe die Polynome [mm] f_{1}=X^4+5X^3+3X^2+5X+6 [/mm] und [mm] f_{2}=X^3+6X^2+6 [/mm] und ich weis, dass sie als ggT das Polynom [mm] f_{3}=X+1 [/mm] haben. Das sind üpbrigens alles Polynome aus [mm] F_{11}[X]. [/mm] Das Lemma von Bezout sagt ja nun, dass es Polynome [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] gibt, mit [mm] f_{3}=g_{1}f_{1}+g_{2}f_{2}. [/mm] Aber wie finde ich die? Den Beweis den wir hatten, ist nicht konstruktiv, daher weis ich keinen Weg außer Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten um die Polynome zu finden, was aber bestimmt einfacher geht. Hat einer eine bessere Idee?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Gruß
Hund
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> Hallo,
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> ich habe die Polynome [mm]f_{1}=X^4+5X^3+3X^2+5X+6[/mm] und
> [mm]f_{2}=X^3+6X^2+6[/mm] und ich weis, dass sie als ggT das Polynom
> [mm]f_{3}=X+1[/mm] haben. Das sind üpbrigens alles Polynome aus
> [mm]F_{11}[X].[/mm] Das Lemma von Bezout sagt ja nun, dass es
> Polynome [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] gibt, mit
> [mm]f_{3}=g_{1}f_{1}+g_{2}f_{2}.[/mm] Aber wie finde ich die? Den
> Beweis den wir hatten, ist nicht konstruktiv, daher weis
> ich keinen Weg außer Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten
> um die Polynome zu finden, was aber bestimmt einfacher
> geht. Hat einer eine bessere Idee?
Wie wärs mit dem euklidischen Algorithmus? Der ggT tritt dabei irgendwann als Divisionsrest auf. Diesen Rest kannst Du durch Umformen der vorhergehenden Divisionsschritte als die gewünschte Kombination von [mm] $f_1(x)$ [/mm] und [mm] $f_2(x)$ [/mm] darstellen. Ist z.B. [mm] $f_1(x):f_2(x)=q_1(x)+r_1(x):f_2(x)$, [/mm] dann erhält man [mm] $r_1(x)=f_1(x)-q_1(x)\cdot f_2(x)$.
[/mm]
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