Polynomring, VR, DimV=\infty < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V= [mm] \IR[x] [/mm] der Polynomring in einer Variablen x aufgefasst als Vektorraum über [mm] \IR
[/mm]
Zeigen Sie: Dim V = [mm] \infty [/mm] |
Hi,
Wenn ich einen Widerspruchsbeweis führe und annehme, dass es ein endliches erzeugenden System gibt, mit dem ich alle Polynome erzeugen kann komme ich denke ich mal zu einem Widerspruch...
aber wie zeige ich das am besten??? ich komme nicht auf einen ansatz
lg richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 So 11.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Richard
> Es sei V= [mm]\IR[x][/mm] der Polynomring in einer Variablen x
> aufgefasst als Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
> Zeigen Sie: Dim V = [mm]\infty[/mm]
> Hi,
>
> Wenn ich einen Widerspruchsbeweis führe und annehme, dass
> es ein endliches erzeugenden System gibt, mit dem ich alle
> Polynome erzeugen kann komme ich denke ich mal zu einem
> Widerspruch...
Genau.
> aber wie zeige ich das am besten??? ich komme nicht auf
> einen ansatz
Wenn du ein Erzeugendensystem aus Polynomen hast, die alle einen Grad $< n$ haben, kannst du dann damit das Element [mm] $x^n$ [/mm] aus [mm] $\IR[x]$ [/mm] erzeugen?
LG Felix
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Hi,
Danke erstmal
Formuliere ich das so in etwa
Sei Dim n die auf n beschränkte Anzahl der Elemente der Basis, die alle Polynome erzeugt.
Also kann auch das Polynom [mm] x^{n+1} [/mm] erzeugt werden (das ist der Widerspruch).....
muss ich noch zeigen, das jeweils ein Monom die Polynome gleichen Grades erzeugen kann....was fehlt noch?
lg Richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 11.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Richard
> Formuliere ich das so in etwa
>
> Sei Dim n die auf n beschränkte Anzahl der Elemente der
> Basis, die alle Polynome erzeugt.
>
> Also kann auch das Polynom [mm]x^{n+1}[/mm] erzeugt werden (das ist
> der Widerspruch).....
Das ist das falsche $n$. Wenn $n$ die Dimension ist, dann besteht die Basis aus $n$ Polynomen, etwa [mm] $f_1, \dots, f_m$. [/mm] Jetzt nimmst du $m := [mm] \max\{ \deg f_1, \dots, \deg f_n \} [/mm] + 1$ und betrachtest [mm] $x^m$.
[/mm]
> muss ich noch zeigen, das jeweils ein Monom die Polynome
> gleichen Grades erzeugen kann....was fehlt noch?
Ich weiss nicht wofuer das gut sein soll...
Du musst einfach zeigen, dass aus der Annahme, dass [mm] $f_1, \dots, f_n$ [/mm] eine Basis ist, ein Widerspruch folgt. Schreibe etwa [mm] $x^m [/mm] = [mm] \lambda_1 f_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \lambda_n f_n$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \IR$. [/mm] Was ist der Grad von der linken und von der rechten Seite?
LG Felix
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Hi und danke
der Grad von m ist größer als der Grad der endlichen Basis also der rechten Seite, demnach kann [mm] x^{m} [/mm] nicht erzeugt werden...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 11.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> der Grad von m ist größer als der Grad der endlichen Basis
> also der rechten Seite, demnach kann [mm]x^{m}[/mm] nicht erzeugt
> werden...?
Genau.
LG Felix
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