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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:15 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Brumm |
Hi,
Mir ist bekannt, dass wenn ich n+1 Punkte [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] bis [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] gegeben habe, wobei die [mm] $x_i$ [/mm] paarweise verschieden sind, dass es dann genau ein Polynom n.ten Grades $p(x) = [mm] \sum_{i=0}^{n} \lambda_i [/mm] * [mm] x^i$ [/mm] gibt, dass [mm] $p(x_i) [/mm] = [mm] y_i$ [/mm] für $i = 0, [mm] \ldots, [/mm] n$ erfüllt.
Was ist nun aber, wenn ich anstelle der $n+1$ Punkte nur $n$ gegeben habe? Kann ich dann etwa immer annehmen, dass [mm] $\lambda_3 [/mm] = 0$ (natürlich nur falls $n [mm] \geq [/mm] 3$), also das ein bestimmter Koeffizient null ist?
Vielen Dank für die Hilfe,
Brumm
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> Hi,
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> Mir ist bekannt, dass wenn ich n+1 Punkte [mm](x_0,y_0)[/mm] bis
> [mm](x_n,y_n)[/mm] gegeben habe, wobei die [mm]x_i[/mm] paarweise verschieden
> sind, dass es dann genau ein Polynom n.ten Grades [mm]p(x) = \sum_{i=0}^{n} \lambda_i * x^i[/mm]
> gibt, dass [mm]p(x_i) = y_i[/mm] für [mm]i = 0, \ldots, n[/mm] erfüllt.
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> Was ist nun aber, wenn ich anstelle der [mm]n+1[/mm] Punkte nur [mm]n[/mm]
> gegeben habe?
Hallo,
dann weißt Du, daß es genau ein Polynom vom Grad n-1 gibt, so daß der Graph durch diese vorgegebenen n Punkte verläuft.
Wenn Du nun Polynome vom Grad n oder n+37 suchst, die durch diese vorgegebenen n Punkte gehen, so wirst Du viele finden.
Ein Beispiel:
Gegeben seien die Stützstellen (-2 , 0), (0, -2) und (1,0).
Es gibt genau ein Polynom vom grad 2, welches durch diese drei Punkte geht, nämlich p(x)=x²+x-2 =(x-1)(x+2)
Suchst Du nun Polynome vom Grad 3, die durch diese Punkte gehen, wirst Du viele finden.
Für [mm] p_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] hättest Du das LGS
-8a+4b-2c+d=0
d=-2
a+b+c+d=0
zu lösen, und daß die Lösung hierfür nicht eindeutig ist, dürfte klar sein. Keinesfalls bekommst Du hier heraus, daß der Koeffizient a zwangsläufig =0 sein muß.
Gruß v. Angla
> Kann ich dann etwa immer annehmen, dass
> [mm]\lambda_3 = 0[/mm] (natürlich nur falls [mm]n \geq 3[/mm]), also das ein
> bestimmter Koeffizient null ist?
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> Vielen Dank für die Hilfe,
> Brumm
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