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| Aufgabe | Sei [mm]f: \IR -> \IR, f(x)=\begin{cases} exp(-\frac{1}{x^2}), & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
Zeigen Sie:
a) Für alle [mm]n \in \IN_0[/mm], gibt es Polynomfunktionen [mm] h_n(y) [/mm] von Grad 3n, so dass:
[mm]f^{(n)}(x)= h_n (\frac{1}{x})* exp(-\frac{1}{x^2}) \mbox{für } x\not= 0 \mbox{ ist.}[/mm]
b) f ist in 0 beliebig oft differenzierbar mit
[mm]f^n(0)=0 \mbox{ für alle } n\in \IN_0[/mm] |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
N'Abend,
ich sitze gerade an obriger Aufgabe.
Zu a)
Polynomdarstellung dritten Grades:
[mm]ax^{3n}+...+ax^3+ax^2+ax+a[/mm] Wie bekomm ich denn da am besten eine bessere Darstellung?
Ich habe mir gedacht ich setze eine Polynomfunktion vom Grad 3n für [mm] h_n [/mm] ein. Wobei n=1 ist, also sozusagen die kürzeste Polynomfunktion.
Also:
[mm](ax^3+ax^2+ax+a)(\frac{1}{x})*exp(-\frac{1}{x^2})[/mm]
ausmultipliziert und gekürzt:
[mm]ax^2+ax+a + \frac{a}{x}*exp(-\frac{1}{x^2})[/mm]
Aber dann hab ich ja nur eine kann ich dann mit vollständiger Induktion zeigen das es auch für 3(n+1) gilt, oder geht das nicht?
Zu b)
Für b hab ich aus der Funktion eine Taylorreihe gemacht:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \frac{0}{n!}x^n = 0[/mm]
Und was jetzt damit ich kann unendlich ja schlecht mit n+1 ersetzen und ebenfalls eine Induktion machen.
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mo 31.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Polynomfkt hat doch nicht lauter gleiche Koeffizienten,
Warum differenzierst du [mm] e^{-1/x^2} [/mm] nicht 2 oder 3 mal und hast dann h1, h2, h3 und rätst [mm] h_n [/mm] und beweisest mit vollst. Induktion.
dann benutzt du dein Ergebnis für b)
(Deine Taylorreihe ist sicher nicht die für [mm] e^{-1/x^2}.) [/mm] oder wie kommst du auf die Reihe?)
Gruss leduart
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Hi dankeschön,
Die Tylorreihe hab ich mehr geraten wie ausgerechnet, da ich überall null haben wollte passte das gerade.
Ich bekomm leider nicht ganz eine allgemeine Formel raus:
[mm]f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
[mm]f'(x)=2x^{-3}*e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
[mm]f''(x)=-6x^{-4}*e^{-\frac{1}{x^2}}+2x^{-3}*2x^{-3}*e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
[mm]\summe_{n=0}^{n} 2nx^{-3+n}*e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
leider passt die nicht so ganz.
Grüße,
Mareike
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Hallo mareike-f,
> Hi dankeschön,
> Die Tylorreihe hab ich mehr geraten wie ausgerechnet, da
> ich überall null haben wollte passte das gerade.
>
> Ich bekomm leider nicht ganz eine allgemeine Formel raus:
> [mm]f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
> [mm]f'(x)=2x^{-3}*e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=-6x^{-4}*e^{-\frac{1}{x^2}}+2x^{-3}*2x^{-3}*e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{n} 2nx^{-3+n}*e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
> leider
> passt die nicht so ganz.
Betrachte
[mm]f^{\left(n\right)}\left(x\right)=h_{n}\left(\bruch{1}{x}\right)*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
und
[mm]f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=h_{n+1}\left(\bruch{1}{x}}}\right)*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}=\left(h_{n}\left(\bruch{1}{x}\right)*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}\right)'=\left(f^{n}\left(x\right)\right)'[/mm]
Dann bekomst Du eine Rekursionsvorschrift für [mm]h_{n}[/mm].
Beweise dann, dass diese Polynome vom Grad 3n sind.
>
> Grüße,
> Mareike
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mi 02.04.2008 | | Autor: | mareike-f |
Hi,
danke für eure Hilfe, hab die Induktion jetzt hinbekommen.
Grüße,
Mareike
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