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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Do 22.10.2015 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und K[T] der Polynomring über K. Ferner seien f [mm] \in [/mm] End(V) und p,q [mm] \in [/mm] K[T].
Beweisen Sie:
1. Ist p ein Teiler von q so gilt
Kern(p(f)) [mm] \subseteq [/mm] Kern(q(f)) und Bild(g(f)) [mm] \subseteq [/mm] Bild(p(f))
2. Ist d ein ggT von p und q so gilt:
Kern(d(f) = Kern p(f) [mm] \cap [/mm] Kern g(f)
Bild d(f) = Bild p(f) + Bild q(f) |
Hallo liebes Forum,
mir ist bei dieser Aufgabe die Beweisführung für das Bild in beiden Teilaufgaben irgendwie nicht klar. Hinsichtlich des Kern kann man ja leicht argumentieren:
1) Da q=pm für ein Polynom m gilt, folgt für jeden Vektor, für den p(f(v))= 0 gilt, dass auch q(f(v)))=p(f(v))m(f(v))=0 gilt, also Kern(p(f)) [mm] \subseteq [/mm] Kern(q(f))
2) Mit dem eben bewiesenen folgt, dass jeder Vektor, der im Kern von d(f) liegt, auch im Kern von p(f) und im Kern von q(f) liegt also
Kern(d(f)) [mm] \subseteq [/mm] Kern(p(f)) [mm] \cap [/mm] Kern(q(f))
Mit dem euklid. Algorithmus gilt, dass es zwei Polynome s,t gibt, sodass
d= sp + qt. Liegt nun ein Vektor v im Kern von p und q so folgt, dass auch d(f(v))= 0 ist, also die Rückrichtung.
Soweit so gut, aber was mache ich mit dem Bild? Mein Ansatz wie üblich bei Mengen wäre, mir einen Vektor aus Bild(q(f)), also q(f(v)) zu nehmen und zu zeigen, dass dieser auch im Bild(p(f)) liegt
Für einen beliebigen Vektor v gilt:
q(f(v))=m(f(v))p(f(v))
Wie soll ich hier zeigen, dass es einen anderen Vektor w geben muss, sodass
p(f(w))=q(f(v)) gilt?
Freue mich über jeden Hinweis :)
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 22.10.2015 | | Autor: | hippias |
Mein Hinweis: es liegt ein kleines Missverstaendnis darueber vor, wie $p(f)m(f)$ auf einem Vektor operiert. Wenn Du Dir darueber etwas mehr Klarheit verschafft hast, faellt Dir der Beweis sicherlich leicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 22.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stala!
> 1) Da q=pm für ein Polynom m gilt, folgt für jeden
> Vektor, für den p(f(v))= 0 gilt, dass auch
> q(f(v)))=p(f(v))m(f(v))=0 gilt, also Kern(p(f)) [mm]\subseteq[/mm]
> Kern(q(f))
Auf das Vorliegen eines Missverständnisses hat dich hippias ja schon aufmerksam gemacht:
$f(v)$ ist ein Vektor des Vektorraumes $V$. Daher ergibt der Ausdruck $p(f(v))$ überhaupt keinen Sinn (schließlich lassen sich Vektoren im Allgemeinen nicht in Polynome einsetzen, da sich Vektoren im Allgemeinen nicht miteinander multiplizieren lassen).
Welche Art von Objekt ist $p(f)$?
(Ist es ein Skalar, ein Vektor, ein Polynom, eine Abbildung, eine Menge, ... ?)
Mache dir
[mm] $[p*m](f)=[m*p](f)=[m(f)]\circ [/mm] [p(f)]$
klar (insbesondere: Mache dir wieder klar, welcher Art die auftretenden Objekte sind).
> 2) Mit dem eben bewiesenen folgt, dass jeder Vektor, der im
> Kern von d(f) liegt, auch im Kern von p(f) und im Kern von
> q(f) liegt also
> Kern(d(f)) [mm]\subseteq[/mm] Kern(p(f)) [mm]\cap[/mm] Kern(q(f))
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Mit dem euklid. Algorithmus gilt, dass es zwei Polynome s,t
> gibt, sodass
> d= sp + qt.
> Liegt nun ein Vektor v im Kern von p und q
Polynome haben keine Kerne. Du meinst p(f) und $q(f)$ anstelle von p und q.
> so
> folgt, dass auch d(f(v))= 0 ist, also die Rückrichtung.
Gleicher Fehler wie im ersten Teil.
Rechne $[d(f)](v)=0$ sauber nach, um [mm] $v\in [/mm] Kern(d(f))$ einzusehen.
> Soweit so gut, aber was mache ich mit dem Bild? Mein Ansatz
> wie üblich bei Mengen wäre, mir einen Vektor aus
> Bild(q(f)), also q(f(v))
Es muss $[q(f)](v)$ heißen.
> zu nehmen und zu zeigen, dass
> dieser auch im Bild(p(f)) liegt
> Für einen beliebigen Vektor v gilt:
> q(f(v))=m(f(v))p(f(v))
Nein, es gilt
[mm] $q(f)=[p*m](f)=[p(f)]\circ [/mm] [m(f)]$
und damit
[mm] $[q(f)](v)=[p(f)]\circ[m(f)](v)=[p(f)]([m(f)](v))$.
[/mm]
Siehst du, wie damit [mm] $[q(f)](v)\in [/mm] Bild(p(f))$ folgt?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Do 22.10.2015 | | Autor: | Stala |
Oh, da hab ich wohl tatsächlich etwas falsch verstanden in der Aufgabe... der Endomorphismus f wird in das Polynom eingesetzt und der Vektor v operiert dann auf auf dieser Abbiludng, also [p(f)](v) statt p(f(v)). So macht das ganze natürlich auch wesentlich mehr Sinn! Der Rest geht dann ja fast von allein.
Vielen Dank an euch :)
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