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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 09.03.2009 | | Autor: | ghostdog |
| Aufgabe | | Finden Sie die Elemente der polynomialen Restklassen Gruppe in [mm] \IZ_{2} [/mm] / [mm] f_{x^2 + x +1}. [/mm] Stellen Sie die Verknüpfungstabelle auf. |
Ich bin mir nicht sicher wie man die Elemente der Restklassengruppe ermittelt. Kann mir jemand ein Schema zeigen wie ich diese Ermittle ? Also in [mm] \IZ_{2} [/mm] würde ich sagen müssen die Elemente 0 und 1 dabei sein, insgesamt sollten es nicht mehr als 4 Elemente sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Di 10.03.2009 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Finden Sie die Elemente der polynomialen Restklassen Gruppe
> in [mm]\IZ_{2}[/mm] / [mm]f_{x^2 + x +1}.[/mm] Stellen Sie die
> Verknüpfungstabelle auf.
> Ich bin mir nicht sicher wie man die Elemente der
> Restklassengruppe ermittelt. Kann mir jemand ein Schema
> zeigen wie ich diese Ermittle ? Also in [mm]\IZ_{2}[/mm] würde ich
> sagen müssen die Elemente 0 und 1 dabei sein, insgesamt
> sollten es nicht mehr als 4 Elemente sein.
Ich nehme an, du meintest [mm] $\IZ_2 \left[ x \right] [/mm] / f$ mit $f(x) = [mm] x^2+x+1$.
[/mm]
Dann musst du dir vorstellen, was der Kern davon ist. Das sind alle Polynome mit $0= [mm] x^2+x+1$.
[/mm]
Stellen wir das nach [mm] $x^2$ [/mm] um, dann erhaelt man $ [mm] x^2= [/mm] -x-1 = x+1$, denn wir sind in [mm] $\IZ_2$.
[/mm]
Damit lassen sich alle Terme mit Potenz groesser 1 nach dieser Vorschrift ersetzen bis man nur noch Terme
mit den Exponenten $x$ und [mm] $x^0=1$ [/mm] erhaelt. mit den Koeffizienten in [mm] $\IZ_2$ [/mm] ergeben sich dann nur noch 4 Moeglichkeiten.
Diesen Einsetzungsprozess kann man sich auch anders vorstellen, indem man an die schriftliche Division denkt und sich klar macht, wann diese bei Polynomen abbrechen kann.
Gruss Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 10.03.2009 | | Autor: | ghostdog |
Danke für die Antwort, aber mir ist immer noch nicht klar, wie man auf das Element x kommt? Also in [mm] \IZ_{2} [/mm] [x] sind anscheinend immer 0 und 1 dabei. Das mit dem Umstellen und ersetzen verstehe ich auch, aber außer 0,1, x+1 finde ich keine Elemente mehr (x?).
Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in [mm] \IZ_{3} [/mm] [x]/ f [mm] x^2 [/mm] +1 erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mi 11.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Danke für die Antwort, aber mir ist immer noch nicht klar,
> wie man auf das Element x kommt?
Darauf kommst du, indem du x durch [mm] x^2 [/mm] + x + 1 mit Rest teilst.
> Also in [mm]\IZ_{2}[/mm] [x] sind
> anscheinend immer 0 und 1 dabei. Das mit dem Umstellen und
> ersetzen verstehe ich auch, aber außer 0,1, x+1 finde ich
> keine Elemente mehr (x?).
Klar, das vollständige Restsystem ist 0, 1, x, x+1.
> Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in
> [mm]\IZ_{3}[/mm] [x]/ f [mm]x^2[/mm] +1 erklären?
Da mußt du dir die Polynome vom Grad [mm] $\le$ [/mm] 1 mit den Koeffizienten aus [mm] $\IZ_{3}$ [/mm] hinschreiben.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 11.03.2009 | | Autor: | ghostdog |
> Darauf kommst du, indem du x durch [mm]x^2[/mm] + x + 1 mit Rest
> teilst.
ehrlich gesagt macht das für mich überhaut keinen Sinn, wie soll das aussehen [mm] (x):(x^2+x+1)=? [/mm] das ergibt doch nicht x?
Anders herum [mm] (x^2+x+1):(x)=x+1 [/mm] Rest 1 bekomme ich auch kein x als Element der Gruppe heraus.
> Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in
> $ [mm] \IZ_{3} [/mm] $ [x]/ f $ [mm] x^2 [/mm] $ +1 erklären? (= 9 Elemente)
> Da mußt du dir die Polynome vom Grad $ [mm] \le [/mm] $ 1 mit den Koeffizienten aus $ [mm] \IZ_{3} [/mm] $ hinschreiben.
Wie sehen diese Polynome aus ? 0,1,2 Grad < 1 ?
Grad = 1?
wäre dankbar für eine Ausführliche Antwort, wenn es nicht zuviel mühe macht
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
> > Darauf kommst du, indem du x durch [mm]x^2[/mm] + x + 1 mit Rest
> > teilst.
>
> ehrlich gesagt macht das für mich überhaut keinen Sinn, wie
> soll das aussehen [mm](x):(x^2+x+1)=?[/mm] das ergibt doch nicht x?
> Anders herum [mm](x^2+x+1):(x)=x+1[/mm] Rest 1 bekomme ich auch
> kein x als Element der Gruppe heraus.
Mal ein Beispiel: Was kommt denn als Rest heraus, wenn man [mm] $x^2 [/mm] +2 [mm] \cdot [/mm] x + 1 = [mm] x^2 [/mm] + 1$ durch [mm] $x^2+x+1$ [/mm] schriftlich teilt?
Da solltest du auf $x$ kommen.
Wenn du das hast, dann denke ich solltest du verstehen, wie die Restklassen bei dieser Reduktion sich ergeben.
> > Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in
> > [mm]\IZ_{3}[/mm] [x]/ f [mm]x^2[/mm] +1 erklären? (= 9 Elemente)
>
> > Da mußt du dir die Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 1 mit den
> Koeffizienten aus [mm]\IZ_{3}[/mm] hinschreiben.
>
> Wie sehen diese Polynome aus ? 0,1,2 Grad < 1 ?
> Grad = 1?
Die Polynome vom Grad 0 hast du schon gefunden. Die Polynome vom Grad 1 solltest du eigentlich auch finden koennen.
Mit anderen Worten: Welche Polynome der Form [mm] $a_1 \cdot [/mm] x + [mm] a_0$ [/mm] gibt es mit den Koeffizienten aus [mm] $\IZ_3$?
[/mm]
Gruss Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ghostdog |
Ja vielen dank nochmal für die Antwort, also wenn das anscheinend so
>Welche Polynome der Form $ [mm] a_1 \cdot [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] $ gibt
funktioniert , dann glaube hab ich es verstanden.
bleibt für [mm] \IZ_{3}/x^2+1 [/mm] also die Elemente
0,1,2 für grad 0
x, 2x, x+1, x+2, 2x+1, 2x+2 für grad 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mo 16.03.2009 | | Autor: | statler |
So isset!
Ciao
Dieter
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