Polynom irreduzibel modulo n? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist [mm]p(s)=s^{3}-s-a[/mm] irreduzibel modulo 31 für [mm]a\in[/mm] {0,...,9}? |
Wie geht man vor um die Nullstellen zu finden, ohne a von 0-9 und s jeweils von 2-30 durchzuprobieren? Und das unbedingt von Hand.
Gibt es eine einfache Möglichkeit von Hand?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Cassy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mo 09.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Ist [mm]p(s)=s^{3}-s-a[/mm] irreduzibel modulo 31 für [mm]a\in[/mm]
> {0,...,9}?
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> Wie geht man vor um die Nullstellen zu finden, ohne a von
> 0-9 und s jeweils von 2-30 durchzuprobieren? Und das
> unbedingt von Hand.
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> Gibt es eine einfache Möglichkeit von Hand?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Cassy
>
Eine besonders einfache Methode sehe ich gerade nicht, aber vielleicht hat jemand anderes eine bessere Idee:
Ich betrachte die Funktion [mm] $\pi(s)= s^{3}-s= [/mm] (s-1)s(s+1)$. Es ist $p(x)= [mm] 0\iff \pi(x)= [/mm] a$. D.h. Man braucht "nur" die Wertemenge - dies aber wohl auch mittels Wertetabelle - von [mm] $\pi$ [/mm] zu bestimmen und schauen welche Werte fuer $a$ uebrigbleiben. Benutzt man, dass [mm] $\pi(-x)= -\pi(x)$ [/mm] gilt, so wird die Wertetabelle auch von Hand berechenbar.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 10:40 Di 10.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Ist [mm]p(s)=s^{3}-s-a[/mm] irreduzibel modulo 31 für [mm]a\in[/mm]
> {0,...,9}?
Wir befinden uns also in einem Primkörper und damit insbesondere auch in einem Integritätsbereich.
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> Wie geht man vor um die Nullstellen zu finden, ohne a von
> 0-9 und s jeweils von 2-30 durchzuprobieren? Und das
> unbedingt von Hand.
Also erst einmal f irreduzibel <=> f hat Nullstelle. Das ist ok.
>
> Gibt es eine einfache Möglichkeit von Hand?
Für die verschiedenen [mm] $a\in\{0,\ldots,9\}$ [/mm] muss man nicht alle Werte durch probieren. Es genügt diese zu betrachten, die das Absolutglied teilen.
Bei $a=3$ muss also nur [mm] $s\in\{1,3,-1,-3\}$ [/mm] getestet werden. Und das sollte recht flott auch per Hand gehen. Ist ja wirklich nur einsetzen und auswerten.
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> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Cassy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Di 10.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ist [mm]p(s)=s^{3}-s-a[/mm] irreduzibel modulo 31 für [mm]a\in[/mm]
> > {0,...,9}?
> Wir befinden uns also in einem Primkörper und damit
> insbesondere auch in einem Integritätsbereich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Wie geht man vor um die Nullstellen zu finden, ohne a von
> > 0-9 und s jeweils von 2-30 durchzuprobieren? Und das
> > unbedingt von Hand.
> Also erst einmal f irreduzibel <=> f hat Nullstelle. Das
> ist ok.
Genau.
> > Gibt es eine einfache Möglichkeit von Hand?
> Für die verschiedenen [mm]a\in\{0,\ldots,9\}[/mm] muss man nicht
> alle Werte durch probieren. Es genügt diese zu betrachten,
> die das Absolutglied teilen.
Das Problem ist: wir sind in einem Koerper. Jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ wird von jedem anderen Element [mm] $\neq [/mm] 0$ geteilt.
> Bei [mm]a=3[/mm] muss also nur [mm]s\in\{1,3,-1,-3\}[/mm] getestet werden.
Das stimmt leider nicht...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Di 10.01.2012 | | Autor: | statler |
Hallo!
> > Ist [mm]p(s)=s^{3}-s-a[/mm] irreduzibel modulo 31 für [mm]a\in[/mm]
> > {0,...,9}?
> Wir befinden uns also in einem Primkörper und damit
> insbesondere auch in einem Integritätsbereich.
>
>
> >
> >
> > Wie geht man vor um die Nullstellen zu finden, ohne a von
> > 0-9 und s jeweils von 2-30 durchzuprobieren? Und das
> > unbedingt von Hand.
> Also erst einmal f irreduzibel <=> f hat Nullstelle. Das
> ist ok.
> >
> > Gibt es eine einfache Möglichkeit von Hand?
> Für die verschiedenen [mm]a\in\{0,\ldots,9\}[/mm] muss man nicht
> alle Werte durch probieren. Es genügt diese zu betrachten,
> die das Absolutglied teilen.
>
> Bei [mm]a=3[/mm] muss also nur [mm]s\in\{1,3,-1,-3\}[/mm] getestet werden.
Da habe ich so meine Bedenken. Nimm mal [mm] x^2 [/mm] - 5 mod 31. Du bist hier nicht über [mm] \IZ, [/mm] sondern über einem Körper, da ist 3 eine Einheit.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mi 11.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Sorry, dass ich da Mist gebaut habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mi 11.01.2012 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
Irren ist bekanntlich menschlich, und Fehler passieren. Mich würde immer noch interessieren, ob meine Schnellrechnung stimmt und ob es einen pfiffigen Dreh gibt, der besonders schnell zum Ziel führt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Di 10.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Cassy,
> Ist [mm]p(s)=s^{3}-s-a[/mm] irreduzibel modulo 31 für [mm]a\in[/mm]
> {0,...,9}?
>
>
> Wie geht man vor um die Nullstellen zu finden, ohne a von
> 0-9 und s jeweils von 2-30 durchzuprobieren? Und das
> unbedingt von Hand.
>
> Gibt es eine einfache Möglichkeit von Hand?
ich hab da jetzt etwas laenger drueber nachgedacht, und mir ist nichts besseres eingefallen als das was hippias vorgeschlagen hat.
Aber fuer's allgemeine Interesse noch eine abstraktere Version, die alle $a$ liefert fuer die $p(s)$ nicht irreduzibel ist. Die ist allerdings etwas aufwaendiger auszurechnen...
Und zwar fasst man $p$ als Polynom in [mm] $\IF_{31}[s, [/mm] a]$ auf und betrachtet das Polynom $f = [mm] s^{31} [/mm] - s [mm] \in \IF_{31}[s, [/mm] a]$. Dann berechnet man die Resultante von $p$ uns $f$ in [mm] $(\IF_{31}[a])[s]$; [/mm] dies ist ein Element aus [mm] $\IF_{31}[a]$, [/mm] nennen wir es mal $g$. Fuer $a [mm] \in \IF_{31}$ [/mm] gilt dann
$g(a) = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] p(s, a), f(s) [mm] \in \IF_{31}[s] \text{ haben gemeinsame Nullstelle} \Leftrightarrow [/mm] p(s, a) [mm] \in \IF_{31}[s] \text{ hat Nullstelle in } \IF_{31} \Leftrightarrow [/mm] p(s, a) [mm] \in \IF_{31}[s] \text{ ist nicht irreduzibel}$
[/mm]
Die Nullstellen von dem Polynom liefern also gerade die $a$, fuer die $p(s)$ nicht irreduzibel ist. Laut MAGMA ist die Resultante gleich [mm] $a^{31} [/mm] + [mm] 28*a^{21} [/mm] + [mm] 23*a^{19} [/mm] + [mm] 13*a^{17} [/mm] + [mm] 29*a^{15} [/mm] + [mm] 29*a^{13} [/mm] + [mm] 9*a^{11} [/mm] + [mm] 23*a^9 [/mm] + [mm] 4*a^7 [/mm] + [mm] 4*a^5 [/mm] + [mm] 8*a^3$, [/mm] und wenn man das faktorisiert erhaelt man [mm] $a^3 [/mm] (a + [mm] 2)^3 [/mm] (a + 4) (a + 5) (a + 6) (a + [mm] 7)^3 [/mm] (a + 8) (a + 11) (a + 12) (a + 13) (a + 14) (a + 17) (a + 18) (a + 19) (a + 20) (a + 23) (a + 23) (a + [mm] 24)^3 [/mm] (a + 25) (a + 26) (a + 27) (a + [mm] 29)^3$.
[/mm]
Von Hand empfiehlt sich diese Methode allerdings wirklich nicht...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Di 10.01.2012 | | Autor: | Cassipaya |
Danke an alle!
Leider funktioniert die Aussage mit den Teilern bei [mm]s^3-s-2[/mm] wirklich nicht, da sind die Nullstellen nämlich -4 (bzw.27), -10 (bzw. 21) und 14.
Keiner davon Teilt -2 irgendwie offensichtlich, nicht mal, wenn man es umschreibt zu +29, was eine Primzahl wäre...
Ich wende mich wohl direkt mal an den Aufgabensteller, obwohl wenn Felix es nicht weiss, dann wird es wohl nicht gerade einfach sein...
Merci!
Cassy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Di 10.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Cassy,
> Ich wende mich wohl direkt mal an den Aufgabensteller,
> obwohl wenn Felix es nicht weiss, dann wird es wohl nicht
> gerade einfach sein...
es waer cool wenn du uns dann auch die Antwort verraten koenntest! 
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Mi 11.01.2012 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ist [mm]p(s)=s^{3}-s-a[/mm] irreduzibel modulo 31 für [mm]a\in[/mm]
> {0,...,9}?
>
>
> Wie geht man vor um die Nullstellen zu finden, ohne a von
> 0-9 und s jeweils von 2-30 durchzuprobieren? Und das
> unbedingt von Hand.
>
> Gibt es eine einfache Möglichkeit von Hand?
'einfach' ist relativ.
Aber nach deiner Überlegung müßtest du ja 290 Fälle durchhecheln. Das muß wirklich nicht sein. Da [mm] s^3 [/mm] - s = s [mm] \cdot (s^2 [/mm] - 1) ist, kann ich mir zunächst die quadratischen Reste hernehmen und sie um 1 vermindern. Dazu reichen die Quadrate der Zahlen von 0 bis 15. Das gibt 16 Rechenvorgänge. Und die multipliziere ich noch mit dem zugehörigen s; -s ergibt dann einfach das andere Vorzeichen. Sind noch mal 16 Aktionen, also 32. Ich habe dabei alle Werte von 0 bis 9 außer der 1 erhalten, das müßte mal verifiziert werden, gerade Vorzeichenfehler genießen bei Mathematikern einen legendären Ruf. Das würde heißen, daß nur [mm] s^3 [/mm] - s - 1 irreduzibel ist.
Nachtrag vom 13.01.12: Eine etwas sorgfältigere Rechnung am Schreibtisch hat mir gezeigt, daß das Polynom auch für a = 3 und a = 9 irreduzibel ist.
Die Fragestellung selbst scheint mir übrigens nicht über jede Kritik erhaben. Es könnte gemeint sein, ob das Polynom für alle diese a irreduzibel ist (dann ist die Antwort natürlich nein) oder aber für welche a es irreduzibel ist, so haben wir es aufgefaßt. Bei penibler Auslegung gibt die Fragestellung diese Unterscheidung nicht her.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Di 17.01.2012 | | Autor: | Cassipaya |
Liebe Helfer
Wenn ich die kryptische Antwort des Aufgabenstellers verstanden habe, ist genau das hier, die einzige Möglichkeit und auch die "einfachste".
Sprich bei 32 Rechenschritten wohl eher keine Prüfungsaufgabe... Aber danke Trotzdem an alle, die mir beigestanden haben. Ich bin super froh um diese Hilfen!
Gruss und Danke
Cassy
Ps: es sind 1,3,9 irreduzibel, das ist richtig
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