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| Aufgabe | Sei [mm] $f:=X^4+3X^3+X^2-2X+1\in\IZ[X]$ [/mm] ein Polynom.
a) Zerlege [mm] $\overline{f}\in\IF_{2}[X]$ [/mm] in irreduzible Faktoren.
b) Zeige, dass [mm] $\overline{f}\in\IF_{3}[X]$ [/mm] in [mm] \IF_{3} [/mm] keine Nullstellen hat.
c) Folgere: f ist in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel. |
Hallo!
Mir geht es insbesondere um c), ich würde aber auch gern wissen, ob meine Überlegungen zu a) und b) richtig sind [Wichtig: Wir haben keine Theorie konkret zu Polynomen und deren Irreduzibilität aufgebaut]:
a) Ich habe in [mm] \IF_{2} [/mm] zerlegt: $f = [mm] X^4+X^3+X^2+1 [/mm] = [mm] (X+1)*(X^{3}+X+1)$. [/mm] $(X+1)$ kann nicht weiter zerlegt werden. Könnte [mm] $(X^{3}+X+1)$ [/mm] weiter zerlegt werden, müsste die Zerlegung die Gestalt
[mm] $X^{3}+X+1 [/mm] = [mm] (X+a)*(X^2+bX+x)$
[/mm]
haben. Das würde aber bedeuten, dass [mm] $(X^{3}+X+1)$ [/mm] eine Nullstelle in $-a$ hat. Das Polynom [mm] $(X^{3}+X+1)$ [/mm] hat aber in [mm] \IF_{2} [/mm] keine Nullstellen, Widerspruch.
b) Dass das Polynom $f [mm] =X^4+X^2 [/mm] + X+ 1$ keine Nullstellen in [mm] \IF_{3} [/mm] hat, habe ich nachgerechnet. Wie in a) gezeigt kann ich so folgern, dass zumindest keine Zerlegung von f in irreduzible Faktoren existiert, bei der ein Faktor ein Polynom 1. Grades ist.
c)
Ich habe in den anderen Threads geschaut und gesehen, dass man erstmal zeigt, dass f in [mm] \IZ[X] [/mm] irreduzibel ist. Angenommen, f wäre in [mm] \IZ[X] [/mm] reduzibel, dann ex. entweder eine Zerlegung der Form
$f = [mm] (X+a)*(X^3+bX^2+cX+d)$ [/mm] (I)
oder der Form
$f = [mm] (X^2+aX+b)*(X^2+bX+c)$ [/mm] (II).
Nun kann ich den Homomorphismus anwenden, der beide Seiten nach [mm] $\IF_2 \cong \IZ/2\IZ$ [/mm] bzw. [mm] $\IF_3\cong \IZ/3\IZ$ [/mm] befördert, und erhalte bei (I) einen Widerspruch zu b), bei (II) einen Widerspruch zu a).
Frage 1: Ist der Widerspruch bei (II) zu a) offensichtlich? Wie kann ich das genauer begründen?
Frage 2: Wie kann ich ohne "Gauss" nun von [mm] \IZ [/mm] auf [mm] \IQ [/mm] schließen?
Vielen Dank für Eure Hilfe und Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f:=X^4+3X^3+X^2-2X+1\in\IZ[X][/mm] ein Polynom.
> a) Zerlege [mm]\overline{f}\in\IF_{2}[X][/mm] in irreduzible
> Faktoren.
> b) Zeige, dass [mm]\overline{f}\in\IF_{3}[X][/mm] in [mm]\IF_{3}[/mm] keine
> Nullstellen hat.
> c) Folgere: f ist in [mm]\IQ[X][/mm] irreduzibel.
> Hallo!
>
> Mir geht es insbesondere um c), ich würde aber auch gern
> wissen, ob meine Überlegungen zu a) und b) richtig sind
> [Wichtig: Wir haben keine Theorie konkret zu Polynomen und
> deren Irreduzibilität aufgebaut]:
>
> a) Ich habe in [mm]\IF_{2}[/mm] zerlegt: [mm]f = X^4+X^3+X^2+1 = (X+1)*(X^{3}+X+1)[/mm].
> [mm](X+1)[/mm] kann nicht weiter zerlegt werden. Könnte [mm](X^{3}+X+1)[/mm]
> weiter zerlegt werden, müsste die Zerlegung die Gestalt
>
> [mm]X^{3}+X+1 = (X+a)*(X^2+bX+x)[/mm]
>
> haben. Das würde aber bedeuten, dass [mm](X^{3}+X+1)[/mm] eine
> Nullstelle in [mm]-a[/mm] hat. Das Polynom [mm](X^{3}+X+1)[/mm] hat aber in
> [mm]\IF_{2}[/mm] keine Nullstellen, Widerspruch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Dass das Polynom [mm]f =X^4+X^2 + X+ 1[/mm] keine Nullstellen in
> [mm]\IF_{3}[/mm] hat, habe ich nachgerechnet. Wie in a) gezeigt kann
> ich so folgern, dass zumindest keine Zerlegung von f in
> irreduzible Faktoren existiert, bei der ein Faktor ein
> Polynom 1. Grades ist.
> c)
> Ich habe in den anderen Threads geschaut und gesehen, dass
> man erstmal zeigt, dass f in [mm]\IZ[X][/mm] irreduzibel ist.
Genau.
> Angenommen, f wäre in [mm]\IZ[X][/mm] reduzibel, dann ex. entweder
> eine Zerlegung der Form
>
> [mm]f = (X+a)*(X^3+bX^2+cX+d)[/mm] (I)
>
> oder der Form
>
> [mm]f = (X^2+aX+b)*(X^2+bX+c)[/mm] (II).
>
> Nun kann ich den Homomorphismus anwenden, der beide Seiten
> nach [mm]\IF_2 \cong \IZ/2\IZ[/mm] bzw. [mm]\IF_3\cong \IZ/3\IZ[/mm]
> befördert, und erhalte bei (I) einen Widerspruch zu b),
> bei (II) einen Widerspruch zu a).
Genau.
> Frage 1: Ist der Widerspruch bei (II) zu a) offensichtlich?
Nun, wenn du es so zerlegen kannst, dann muss das Polynom modulo 2 in zwei Faktoren von Grad 2 zerfallen (und evtl. noch weiter). Du weisst aber, dass du modulo 2 einen irreduziblen Faktor von Grad 3 hast. Den koennte es aber nicht geben, wenn du das Polynom als Produkt zweier Faktoren von Grad 2 schreiben koenntest.
> Wie kann ich das genauer begründen?
> Frage 2: Wie kann ich ohne "Gauss" nun von [mm]\IZ[/mm] auf [mm]\IQ[/mm]
> schließen?
Nun, indem du Gauss speziell fuer dieses Polynom beweist 
Schreibe $f = [mm] \frac{1}{\lambda} \cdot [/mm] g [mm] \cdot [/mm] h$ mit [mm] $\lambda \in \Z \setminus \{ 0 \}$, [/mm] $g, h [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] mit teilerfremden Koeffizienten. Daraus folgt, dass in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] gilt [mm] $\lambda [/mm] f = g h$. Zeige jetzt, dass die Koeffizienten von $g h$ ebenfalls teilerfremd sind, dann muss [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ sein.
(Gauss besagt gerade, dass die Koeffizienten von $g h$ teilerfremd sind.)
LG Felix
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