Polynom in Matrix schreibweise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Hab folgende Aufgabe zu lösen:
schreiben sie das Polynom
[mm] 3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}
[/mm]
in der Form [mm] x^{T}*A*x [/mm] mit x= [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\x_{3}}
[/mm]
was ich bis jetzt hab ist das
[mm] x^{T}= (x_{1} x_{2} x_{3}) [/mm] und
A*x = [mm] x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3} [/mm] und das zusammen ist
[mm] (x_{1} x_{2} x_{3})*(x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3})
[/mm]
aber was mach ich jetzt mit der Angabe ist das Überhaupt schon der richtige Weg oder is das bullshit was ich mir überlegt habe
danke
Stevo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Sa 24.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Stevo,
leider machst du da noch etwas ganz wichtiges falsch :> Hallo
> A*x = [mm]x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3}[/mm]
wenn A eine 3x3 Matrix ist, dann ist Ax ein Spaltenvektor v mit 3 Einträgen !
Danach ist [mm] $x^T*v$ [/mm] erst ein Summand in der Form, wie du ihn suchst.
Also : berechne doch mal ganz allegmein :
[mm] $\vektor{x_1&x_2&x_3} [/mm] * [mm] \left( \pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \right) [/mm] $
und setze es dann mit deinem Polynom gleich, dann solltest du auf eine Lösung kommen.
(muss aber eventuell nicht eindeutig sein)
Wenn du Fragen hast, stelle sie ruhig, aber auch mit deinen Berechnungen, die du schon gemacht hast.
viele Grüße
DaMenge
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> Hallo
> [mm]\vektor{x_1&x_2&x_3} * \left( \pmat{a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \right)[/mm]
also Allgemein kommt mir das raus
[mm] \pmat{a_{11}*x_{1}^{2}&a_{21}* x_{1} x_{2}&a_{31}*x_{1} x_{3}\\a_{12}*x_{1} x_{2}&a_{22}*x_{2}^{2}&a_{32}*x_{2} x_{3}\\a_{13}*x_{1} x_{3}&a_{23}*x_{2} x_{3}&a_{33}*x_{3}^{2}}
[/mm]
und wenn ich das richtig verstanden hab muss ich jetzt nur einen Koeffizientenvergleich machen dann müßte das die Lösung sein
[mm]\vektor{x_1&x_2&x_3} * \left( \pmat{3&2&3\\2&2&4\\3&4&0}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \right)[/mm]
stimmt das
danke für deine Hilfe
Stevo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 24.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vektor [mm] x^{T} [/mm] mit Ax multipliziert ergibt KEINE Matrix! oder wie meinst du dein Ergebnis sonst?
> also Allgemein kommt mir das raus
>
> [mm]\pmat{a_{11}*x_{1}^{2}&a_{21}* x_{1} x_{2}&a_{31}*x_{1} x_{3}\\a_{12}*x_{1} x_{2}&a_{22}*x_{2}^{2}&a_{32}*x_{2} x_{3}\\a_{13}*x_{1} x_{3}&a_{23}*x_{2} x_{3}&a_{33}*x_{3}^{2}}[/mm]
>
> und wenn ich das richtig verstanden hab muss ich jetzt nur
> einen Koeffizientenvergleich machen dann müßte das die
> Lösung sein
wie kannst du eine Summe und ne Matrix Koeffizientenvergleich machen?
> [mm]\vektor{x_1&x_2&x_3} * \left( \pmat{3&2&3\\2&2&4\\3&4&0}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \right)[/mm]
>
hab ich nicht nachgeprüft.
bei mir stünden viel mehr Nullen, aber die Lösg ist nicht eindeutig.
a13 und a31 sind sicher falsch!
Gruss leduart
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Hallo
sehe jetzt auch das ich Blödsinn gerechnet hab probiers nochmal also jetzt kommt mir das raus
> > [mm]\pmat{a_{11}*x_{1} ^{2}+a_{12}*x_{1}x_{2}+a_{13}*x_{3} ^{2}&a_{11}*x_{1} x_{2}+a_{12}*x_{2}^{2}+a_{13}*x_{2} x_{3}&a_{11}*x_{1} x_{3}+a_{12}*x_{2}x_{3}+a_{13}*x_{3} ^{2}\\a_{21}*x_{1} ^{2}+a_{22}*x_{1}x_{2}+a_{23}*x_{1} x_{3}&a_{21}*x_{1} x_{2}+a_{22}*x_{2}^{2}+a_{23}*x_{2} x_{3}&a_{21}*x_{1} x_{3}+a_{22}*x_{2}x_{3}+a_{23}*x_{3} ^{2}\\a_{31}*x_{1} ^{2}+a_{32}*x_{1}x_{2}+a_{33}*x_{1} x_{3}&a_{31}*x_{1} x_{2}+a_{32}*x_{2}^{2}+a_{33}*x_{2} x_{3}&a_{31}*x_{1} x_{3}+a_{32}*x_{2}x_{3}+a_{33}*x_{3} ^{2}}[/mm]
so ich hoff ich hab mich nirgens vertippt ber wie gehts jetzt weiter wie kann ich jetzt die Koeffizienten vergleichen?????
Danke
Stevo
>
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nenene, wenn du x^tAx mit [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] ausrechnest bekommst du auch kein 3-tupel, sondern eine reelle zahl!
ich bin mal so nett un geb dir das ergebnis, draufkommen musst du selber. du musst einfach nur ganz stur matrizenmultiplikation ausführen, erst die mittlere mit der rechten und dann die linke mit der vorhin erhaltenen. oder du kannst wegen der assoziativität auch von links anfangen.
[mm] x^tAx=\summe_{ij=1}^{3}a_{ij}x_ix_j=\summe_{j=1}^{3}\summe_{i=1}^{3}a_{ij}x_ix_j
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 So 25.09.2005 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Danke für die Hilfe habs endlich geschnallt Tut mir Leid das ich so blöde Lösungen raus bekommen hab aber ich steh noch ganz am Anfang mit linearer Algebra
nochmals Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Sa 24.09.2005 | | Autor: | mazi |
Hallo Stevo!
Ich werd das Polynom zunächst mal in eine Matrix schreiben und dir dann erklären, warum das so ist:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 1,5 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1,5 & 2 & 0}.
[/mm]
In der Diagonalen stehen die Quadrate von [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3.
[/mm]
[mm] a_1a_2 [/mm] hat den gleichen Wert wie [mm] a_2a_1, [/mm] du halbierst also den Wert von [mm] x_1x_2 [/mm] und schreibst ihn an die richtigen Stelle der Diagonale.
Das gleiche machst du auch mit den anderen Werten und fertig ist die Matrix.
Maria
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