Polynom Linearfaktorzerlegung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mo 18.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hey Leute,
habe eine Frage... auf meinem Aufgabenblatt steht, dass die Polynomgleichung [mm] X^{n}-1=\produkt_{k=0}^{n-1}(x-a_{n}^{k}) [/mm] mit [mm] a_{n}:=e^{\bruch{2\pi*i}{n}}
[/mm]
allerdings kenne ich es nur so dass dass was unter dem Produktzeichen steht auch unten an der Variablen steht (hier an a). Ist das trotzdem richtig, oder könnte das ein Tippfehler sein?
Silfide
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Hiho,
> allerdings kenne ich es nur so dass dass was unter dem
> Produktzeichen steht auch unten an der Variablen steht
> (hier an a). Ist das trotzdem richtig, oder könnte das ein Tippfehler sein?
nein das stimmt schon so.
"Unten dran" steht es doch nur, wenn es eine Folge oder ähnliches beschreibt. Hier in diesem Fall ist es aber eine Potenz.
Man hätte also auch schreiben können:
$ [mm] X^{n}-1=\produkt_{k=0}^{n-1}(x-a^{k}) [/mm] $ mit $a [mm] :=e^{\bruch{2\pi\cdot{}i}{n}} [/mm] $
Da das a aber eben auch vom n abhängt, wurde hier halt [mm] a_n [/mm] geschrieben, um dies zu verdeutlichen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 18.06.2012 | | Autor: | silfide |
Danke Gono, für die Erklärung. Noch ne Idee für die Indexverschiebung??
Silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 18.06.2012 | | Autor: | silfide |
> Hey Leute,
>
> habe eine Frage... auf meinem Aufgabenblatt steht, dass die
> Polynomgleichung [mm]X^{n}-1=\produkt_{k=0}^{n-1}(x-a_{n}^{k})[/mm]
> mit [mm]a_{n}:=e^{\bruch{2\pi*i}{n}}[/mm]
>
> allerdings kenne ich es nur so dass dass was unter dem
> Produktzeichen steht auch unten an der Variablen steht
> (hier an a). Ist das trotzdem richtig, oder könnte das ein
> Tippfehler sein?
>
> Silfide
Okay vllt. doch kein Fehler! (google sagt das geht), allerdings würde ich die Formel gerne umformen und nun weiß ich nicht direkt wie (also wegen den Index)
Also [mm] X^{n}-1=\produkt_{k=0}^{n-1}(x-a_{n}^{k})=(X-a_{0}^{k})\produkt_{k=1}^{n-1}(x-a_{n}^{k}) [/mm] ?? Richtig, oder doch [mm] =(X-a_{0}^{k})\produkt_{k=0}^{n}(x-a_{n}^{k})??
[/mm]
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Hiho,
> [mm]X^{n}-1=\produkt_{k=0}^{n-1}(x-a_{n}^{k})=(X-a_{0}^{k})\produkt_{k=1}^{n-1}(x-a_{n}^{k})[/mm]
> ?? Richtig, oder doch
> [mm]=(X-a_{0}^{k})\produkt_{k=0}^{n}(x-a_{n}^{k})??[/mm]
Weder noch.
Willst du wirklich eine Index-Verschiebung machen oder möchtest du, dass die Summe über k=0 bis n läuft?
Letzteres wäre nur durch Hinzufügen eines weiteren Faktors möglich, nämlich
$X - [mm] a_n^n$, [/mm] da aber [mm] $a_n^n [/mm] = 1$ gilt, müsstest du dann sozusagen mit (X-1) erweitern.
Das andere wäre eben eine Indexverschiebung der Form: [mm] $\produkt_{k=0}^{n-1}(x-a_{n}^{k}) [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n}(x-a_{n}^{k-1}) [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n}(x-\bruch{a_{n}^{k}}{a_n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a_n} *\produkt_{k=1}^{n}(a_n*x-a_{n}^{k})$
[/mm]
Was dir davon was bringt....
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:43 Mo 18.06.2012 | | Autor: | silfide |
Naja, ich soll die Identiät von [mm] 2^{n-1}*\produkt_{k=1}^{n-1} [/mm] sin [mm] (\bruch{k*\pi}{n})=n [/mm] beweisen. Mit dem vorhergenannten und der Äquivalenz zu [mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1-e^{2*\pi*i*\bruch{k}{n}})=n. [/mm] Deshalb dachte ich, wenn ich das eine solangeumforme bis quasi das hier [mm] \produkt_{k=1}^{n-1}(1-e^{2*\pi*i*\bruch{k}{n}})=n [/mm] dasteht - könnte das klappen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Naja, ich soll die Identiät von
> [mm]2^{n-1}=\produkt_{k=1}^{n-1}[/mm] sin [mm](\bruch{k*\pi}{n})=n[/mm]
> beweisen.
Versuch's lieber nicht. Diese Identität kann nicht stimmen! Das Produkt in der Mitte ist höchstens eins, aber die meisten $n$ sind größer und die [mm] $2^{n-1}$ [/mm] noch viel größer!
Vielleicht muß das Produktzeichen durch das Summenzeichen ersetzt werden?. Aber dann wäre ja immer noch [mm] $n=2^{n-1}$. [/mm] Ratlos!
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:39 Mo 18.06.2012 | | Autor: | silfide |
Stimmt du hast Recht! Schreibfehler sind doch was "schönes"
Ich meine natürlich [mm] 2^{n-1}*\produkt_{k=1}^{n-1} [/mm] sin [mm] (\bruch{k*\pi}{n})=n [/mm] soll ich beweisen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 20.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 20.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 18.06.2012 | | Autor: | silfide |
Also eigentlich will ich, dass das Produkt von K=1 bis n-1 läuft, nur weiß ich nicht wie ich das arragiere...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Di 19.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Also eigentlich will ich, dass das Produkt von K=1 bis n-1
> läuft, nur weiß ich nicht wie ich das arragiere...
Na so:
[mm] $(x^n-1)=\prod_{k=0}^{n-1} (x-a_n^k) [/mm] = [mm] (x-a_n^0)*\prod_{k=1}^{n-1} (x-a_n^k)= (x-1)*\prod_{k=1}^{n-1} (x-a_n^k)$.
[/mm]
War das Dein Problem?
Hast Du noch weitere Fragen?
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mi 20.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
ja, das war mein Problem ... bin dann irgendwann darauf gekommen, dass ich einfach [mm] a_{n}:=e^{\bruch{2\pi\cdot{}i}{n}} [/mm] nutze und dann war das mich behindernde n weg... aber finde es richtig gut, dass nun doch mit den n zu sehen ... nun weiss ich es fuers naechste Mal. Danke schoen
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Hallo Wolfgang,
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> ja, das war mein Problem ... bin dann irgendwann darauf
> gekommen, dass ich einfach
> [mm]a_{n}:=e^{\bruch{2\pi\cdot{}i}{n}}[/mm] nutze und dann war das
> mich behindernde n weg... aber finde es richtig gut, dass
> nun doch mit den n zu sehen ... nun weiss ich es fuers
> naechste Mal. Danke schoen
wenn wirklich Wolfgangs Lösung schon alles war, was Du wissen wolltest, dann mach Dir doch klar, dass wegen des Assoziativ und Kommutativgesetzes (für ENDLICHE Summen) gilt:
Sei [mm] $E\,$ [/mm] eine endliche Indexmenge und seien [mm] $a_e \in \IC$ [/mm] für alle $e [mm] \in E\,.$ [/mm] Dann gilt: Sind $I,J [mm] \subseteq [/mm] E$ so, dass deren DISJUNKTE Vereinigung $I [mm] \cup [/mm] J=E$ erfüllt (d.h. auch, dass $I [mm] \cap J=\emptyset$!), [/mm] so gilt:
[mm] $$\sum_{e \in E}a_e=\Big(\sum_{i \in I}a_i\Big)+\Big(\sum_{j \in J}a_j\Big)\,.$$
[/mm]
(Analog kannst Du diese Formel durch rekursive Anwendung auch erweitern, wenn [mm] $E\,$ [/mm] "durch mehrere Teilmengen partitioniert wird".)
Insbesondere gilt natürlich daher für [mm] $E=\{1,...,n\}$ [/mm] und [mm] $j_0 \in [/mm] E$ fest somit
[mm] $$\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{e \in \{1,...,n\}}a_e=a_{j_0}+\Big(\sum_{j \in \{1,...,n\} \setminus \{j_0\}}a_j\Big)=a_{j_0}+\Big(\sum_{\substack{i=1\\i \not=j_0}}^n a_i\Big)\,.$$
[/mm]
Analoges gilt natürlich auch für ENDLICHE Produkte.
P.S.
Wie würde man wohl [mm] $\sum_{e \in E}a_e$ [/mm] auch mithilfe von $I,J [mm] \subseteq [/mm] E$ schreiben können, wenn $I [mm] \cup J=E\,,$ [/mm] aber nicht notwendig $I [mm] \cap J=\emptyset$ [/mm] gelten würde?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Sei [mm]E\,[/mm] eine endliche Indexmenge und seien [mm]a_e \in \IC[/mm]
> für alle [mm]e \in E\,.[/mm] Dann gilt: Sind [mm]I,J \subseteq E[/mm] so,
> dass deren DISJUNKTE Vereinigung [mm]I \cup J=E[/mm] erfüllt (d.h.
> auch, dass [mm]I \cap J=\emptyset[/mm]!), so gilt:
> [mm]\sum_{e \in E}a_e=\Big(\sum_{i \in I}a_i\Big)+\Big(\sum_{j \in J}a_j\Big)\,.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Ich habe mir mal den Spaß gemacht, eine Theorie endlicher Summen und Produkte auf eine Theorie endlicher Mengen aufzubauen, mit so erstaunlichen Ergebnissen wie:
Für $0\le n$ gilt nicht immer
$\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + \sum_{k=2}^n a_k$,
aber es gilt immer
$\sum_{k=1}^n a_n} = n*a_n$. 
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Do 21.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> > Sei [mm]E\,[/mm] eine endliche Indexmenge und seien [mm]a_e \in \IC[/mm]
> > für alle [mm]e \in E\,.[/mm] Dann gilt: Sind [mm]I,J \subseteq E[/mm] so,
> > dass deren DISJUNKTE Vereinigung [mm]I \cup J=E[/mm] erfüllt (d.h.
> > auch, dass [mm]I \cap J=\emptyset[/mm]!), so gilt:
> > [mm]\sum_{e \in E}a_e=\Big(\sum_{i \in I}a_i\Big)+\Big(\sum_{j \in J}a_j\Big)\,.[/mm]
>
> >
>
> Ich habe mir mal den Spaß gemacht, eine Theorie endlicher
> Summen und Produkte auf eine Theorie endlicher Mengen
> aufzubauen, mit so erstaunlichen Ergebnissen wie:
>
> Für [mm]0\le n[/mm] gilt nicht immer
>
> [mm]\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + \sum_{k=2}^n a_k[/mm],
für [mm] $n=0\,$ [/mm] stimmt das auch nicht...
> aber es gilt immer
>
> [mm]\sum_{k=1}^n a_n} = n*a_n[/mm].
??? Ich versteh' nur nicht, wie Du auf solche merkwürdigen Ergebnisse gekommen bist...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Do 21.06.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> > Für [mm]0\le n[/mm] gilt nicht immer
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + \sum_{k=2}^n a_k[/mm],
>
> für [mm]n=0\,[/mm] stimmt das auch nicht...
Genau das meine ich mit "nicht immer".
Das heißt, man kann einen Summanden nur abspalten, wenn einer da ist, wenn also die Indexmenge nichtleer ist. Diese Einschränkung übersieht man gelegentlich.
>
> > aber es gilt immer
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^n a_n} = n*a_n[/mm].
>
Na ja, dies soll nur zeigen, daß nicht alles was wie eine Indexvariable aussieht auch eine Indexvariable ist, in diesem Fall [mm] $\, [/mm] n$.
> ??? Ich versteh' nur nicht, wie Du auf solche merkwürdigen
> Ergebnisse gekommen bist...
Diese Ergebnisse benutzt doch jeder als "trivial"!
Gruß
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Do 21.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> > > Für [mm]0\le n[/mm] gilt nicht immer
> > >
> > > [mm]\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + \sum_{k=2}^n a_k[/mm],
> >
> > für [mm]n=0\,[/mm] stimmt das auch nicht...
>
> Genau das meine ich mit "nicht immer".
> Das heißt, man kann einen Summanden nur abspalten, wenn
> einer da ist, wenn also die Indexmenge nichtleer ist. Diese
> Einschränkung übersieht man gelegentlich.
achso - dann war das $n [mm] \ge [/mm] 0$ kein Vertipper. In der Schule war mir übrigens nie klar, warum man beim Summenzeichen zwangsläufig über ganze bzw. natürliche Zahlen summieren muss. Ich fragte mich immer, warum man nicht auch "Zwischenzahlen" mitnehmen kann, wenn es sowas wie [mm] $a_{1,5}$ [/mm] (hier [mm] $1,5=3/2\,$) [/mm] auch gibt... Das lag' an einer etwas dürftigen Erklärung meiner Lehrer - das Zeichen wurde eigentlich niemals richtig definiert, sondern aus dem Zusammenhang sollte seine Bedeutung klar werden...
Übrigens sagt man auch gerne: [mm] $\sum_{i \in \emptyset}a_i:=0\,.$ [/mm] In dem Sinne stimmt die erste Gleichheit vielleicht sogar - weil es irgendwie [mm] $a_i$ [/mm] für $i [mm] \in \emptyset$ [/mm] nicht gibt - aber in der Tat muss man dann sowas als Null definieren oder wie auch immer. Aber irgendwie "rechnet" man auch nicht mit nicht definierten Folgengliedern, also ist das alles mehr oder weniger "rein akademisch".
> >
> > > aber es gilt immer
> > >
> > > [mm]\sum_{k=1}^n a_n} = n*a_n[/mm].
> >
>
> Na ja, dies soll nur zeigen, daß nicht alles was wie eine
> Indexvariable aussieht auch eine Indexvariable ist, in
> diesem Fall [mm]\, n[/mm].
>
> > ??? Ich versteh' nur nicht, wie Du auf solche merkwürdigen
> > Ergebnisse gekommen bist...
>
> Diese Ergebnisse benutzt doch jeder als "trivial"!
Na, in der Tat hatte ich bei Deiner letzten Summe in der Summe doch [mm] $n\,$ [/mm] tatsächlich selbst als Laufvariable gedacht... Keine Ahnung, wieso. (Vermutung: Die "MACHT der Gewohnheit"!) Einfaches "nochmal genauer Hingucken" hätte mir meine (fast peinliche) Frage erspart ^^
Aber nun gut, zu meiner Verteidung: Bei mir stünde vor dem Summenzeichen:
Für jedes FESTE $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt [mm] $n*a_n=\sum_{k=1}^n a_n$.
[/mm]
P.S.
Zu meiner weiteren Verteidung: Deine Ergebnisse, insbesondere Dein letztes, bleiben dennoch merkwürdig, wenn man $0 [mm] \le [/mm] n$ mit $n [mm] \in \IR \setminus \IN$ [/mm] auch zuläßt. 
(So wäre mit [mm] $a_1=1,\;a_2=2\;$ [/mm] und [mm] $a_{2,5}=3$ [/mm] dann [mm] $\sum_{k=1}^{2,5}a_{2,5}=3+3=6\,,$ [/mm] aber [mm] $2,5*a_{2,5}=7,5\,.$)
[/mm]
Aber okay: Von gewissen Konventionen gehst Du dann auch wortlos aus. (Z.B. ist bei Dir $n [mm] \in \IN_0\,.$)
[/mm]
P.P.S.
Ich merke gerade, dass ich echt nochmal elementares Rechnen üben sollte!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hey Leute,
>
> habe eine Frage... auf meinem Aufgabenblatt steht, dass die
> Polynomgleichung [mm]X^{n}-1=\produkt_{k=0}^{n-1}(x-a_{n}^{k})[/mm]
> mit [mm]a_{n}:=e^{\bruch{2\pi*i}{n}}[/mm]
>
> allerdings kenne ich es nur so dass dass was unter dem
> Produktzeichen steht auch unten an der Variablen steht
> (hier an a). Ist das trotzdem richtig, oder könnte das ein
> Tippfehler sein?
Dies ist kein Tippfehler, mit Pünktchen sieht das so aus:
[mm] $\prod_{k=0}^{n-1} (x-a_n^k)= (x-a_n^0)*(x-a_n^1)\cdots(x-a_n^{n-1})$. [/mm] Die Indexvariable ist $k$ und kann in den Faktoren überall stehen, oder auch gar nicht auftauchen.
So ist für [mm] $n\ge [/mm] 0$ [mm] $\prod_{k=1}^n [/mm] k = [mm] 1*2\cdots [/mm] n=n!$ oder [mm] $\prod_{k=1}^n [/mm] 2 [mm] =2^n$.
[/mm]
Für $n=0$ haben wir keinen Faktor, und aus praktischen Gründen definiert man [mm] $\prod_{k=1}^0 a_k=1$. [/mm] Das leere Produkt ist also eine eindrucksvolle Darstellung des neutralen Elements der Multiplikation, ganz so, wie die leere Summe das neutrale Element der Addition ist.
Die Zahlen [mm] $a_n^0, a_n^1, \ldots ,a_n^{n-1}$ [/mm] sind gerade die n verschiedenen n-ten Einheitswurzeln, also die n verschiedenen Nullstellen von [mm] $x^n-1$. [/mm] Deshalb gilt die Polynomialgleichung.
Gruß,
Wolfgang
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