Polstellenberechnung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Do 04.09.2008 | | Autor: | Knievel |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm]f(x) = \bruch{x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5x + 6} { (1-x)*(x^{2} - 2x -3)}[/mm]
a) Bestimmen sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f.
b) Untersuchen sie, ob f in den Definitionslücken stetig ergänzbar ist.
c) Geben sie die Nullstellen an.
d) Geben sie die Polstellen [mm] x_{p}[/mm] von f an und untersuchen sie[mm] \limes_{n\rightarrow\x_{p}}[/mm] (Leider war das mathematische Symbol nicht vorhanden, gemeint ist die Untersuchung der links und rechtsseitigen Näherungen)
Tipp: Zählerpolynom hat 1 und 2 als Nullstellen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin moin
Sitze mit meinem Lernpartner an dieser Übungsaufgabe der Klausur die auf uns zukommen wird.
Wir sind schon so weit gekommen:
a) Def. Bereich einer gebrochen rationalen Funktion sind [mm] \IR [/mm] außer die Nullstellen des Nennerpolynoms. Durch Logik ist die erste Lücke also 1 und die 2. und 3. wurde von uns durch die PQ Formel mit dem Polynom [mm]x^{2} - 2x -3[/mm] ausgerechnet.
D = [mm] \IR [/mm] \ [mm]\left\{1,-1,3 \right\}[/mm]
b) Wie finden wir den Grenzwert der jeweiligen Stelle um die Lücken stetig zu ergänzen?
c) Kann es wirklich so einfach sein, das Nullstellen(gesamt) = Nullstellen(Zähler) + Nullstellen(Nenner) sind? Weil somit sind die Nullstellen 1,-1,2,3
d) Sind die Polstellen wirklich nur die Nennernullstellen die nicht gleichzeitig Zählernullstellen sind ? Das kommt uns irgendwie zu einfach vor...
Und die links und rechtsseitige Untersuchung wirft bei uns im Moment auch nur Fragen auf, da uns der Ansatz fehlt diese Untersuchung durchzuführen.
Wir haben versucht uns durch Formeln und Erklärungen zu wälzen aber wie Ihr seht kommen immer wieder Fragen auf, die uns nicht beantwortet werden konnten.
Wir hoffen auf eure Hilfe und danken schonmal im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Do 04.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben:
> [mm]f(x) = \bruch{x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5x + 6} { (1-x)*(x^{2} - 2x -3)}[/mm]
>
> a) Bestimmen sie den größtmöglichen Definitionsbereich von
> f.
> b) Untersuchen sie, ob f in den Definitionslücken stetig
> ergänzbar ist.
> c) Geben sie die Nullstellen an.
> d) Geben sie die Polstellen [mm]x_{p}[/mm] von f an und untersuchen
> sie[mm] \limes_{n\rightarrow\x_{p}}[/mm] (Leider war das
> mathematische Symbol nicht vorhanden, gemeint ist die
> Untersuchung der links und rechtsseitigen Näherungen)
>
> Tipp: Zählerpolynom hat 1 und 2 als Nullstellen
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Moin moin
>
> Sitze mit meinem Lernpartner an dieser Übungsaufgabe der
> Klausur die auf uns zukommen wird.
> Wir sind schon so weit gekommen:
>
> a) Def. Bereich einer gebrochen rationalen Funktion sind
> [mm]\IR[/mm] außer die Nullstellen des Nennerpolynoms. Durch Logik
> ist die erste Lücke also 1 und die 2. und 3. wurde von uns
> durch die PQ Formel mit dem Polynom [mm]x^{2} - 2x -3[/mm]
> ausgerechnet.
> D = [mm]\IR [/mm] \ [mm]\left\{1,-1,3 \right\}[/mm]
Nicht ganz: Es kann sein, dass es noch "hebbare Def-Lücken" gibt.
Zerlege dazu mal den Zähler und Nenner in Linearfaktoren.
Also:
[mm] \bruch{x^{4}-x^{3}-x^{2}-5x+6}{(1-x)*(x^{2}-2x-3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-1)(x-2)(x²+2x+3)}{(1-x)(x+1)(x-3))}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-1)(x-2)(x²+2x+3)}{(-(-1+x))*(x+1)(x-3))}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-1)(x-2)(x²+2x+3)}{(-(x-1))*(x+1)(x-3))}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-2)(x²+2x+3)}{-(x+1)(x-3))}
[/mm]
Also ist +1 eine hebbare Def-Lücke, somit ergibt sich [mm] D=\IR/\{-1;3\}
[/mm]
>
> b) Wie finden wir den Grenzwert der jeweiligen Stelle um
> die Lücken stetig zu ergänzen?
Du hast ja die Hebbare Def-Lücke +1, also brauchst du nur die beiden anderen Lücken zu betrachten. Dazu ein Besipiel an -1
Nimm mal zwei Folgen, die (von oben und unten) gegen -1 konvergieren.
Am einfachsten ist [mm] a_{n}=-1+\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] b_{n}=-1-\bruch{1}{n}
[/mm]
Beide haben für [mm] n\to\infty [/mm] den Grenzwert -1, [mm] a_{n} [/mm] nähert sich von oben an, [mm] b_{n} [/mm] von unten.
Jetzt berechne mal die Grenzwerte
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{((-1+\bruch{1}{n})-2)((-1+\bruch{1}{n})²+2(-1+\bruch{1}{n})+3)}{-((-1+\bruch{1}{n})+1)((-1+\bruch{1}{n})-3))}
[/mm]
Und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{((-1-\bruch{1}{n})-2)((-1-\bruch{1}{n})²+2(-1-\bruch{1}{n})+3)}{-((-1-\bruch{1}{n})+1)((-1-\bruch{1}{n})-3))}
[/mm]
Stimmen diese Beiden Grenzwerte überein, kannst du die Funktion f(x) mit dem Grenzwert an der Stelle stetig ergänzen.
>
> c) Kann es wirklich so einfach sein, das
> Nullstellen(gesamt) = Nullstellen(Zähler) +
> Nullstellen(Nenner) sind? Weil somit sind die Nullstellen
> 1,-1,2,3
Nicht ganz: Ein Bruch wird dann Null, wenn der Zähler Null wird. Also hier:
(x-2)(x²+2x+3)=0 [mm] \Rightarrow (x-2)=0\Rightarrow2=x [/mm] oder (x²+2x+3)=0 (keine Lösung)
Also [mm] x_{0}=2
[/mm]
>
> d) Sind die Polstellen wirklich nur die Nennernullstellen
> die nicht gleichzeitig Zählernullstellen sind ? Das kommt
> uns irgendwie zu einfach vor...
So ist es aber, Polstellen sind echte Def-lücken, ohne stetige Fortsetzung.
> Und die links und rechtsseitige Untersuchung wirft bei uns
> im Moment auch nur Fragen auf, da uns der Ansatz fehlt
> diese Untersuchung durchzuführen.
Siehe teil b) Hast du beim Grenzwert [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] heraus, hast du eine Postelle (ohne Vorzeichenwechsel, wenn rechts und linksseitig der Grenzwert [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty, [/mm] mit VZW, wenn die unterschiedlichen Vorzeichen bei [mm] \infty [/mm] auftauchen)
>
> Wir haben versucht uns durch Formeln und Erklärungen zu
> wälzen aber wie Ihr seht kommen immer wieder Fragen auf,
> die uns nicht beantwortet werden konnten.
> Wir hoffen auf eure Hilfe und danken schonmal im vorraus
Marius
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:56 Do 04.09.2008 | | Autor: | Arralune |
So ganz passt das nicht: Auch hebbare Definitionslücken sind Definitionslücken, die Definitionsmenge ist also [mm]\IR \backslash \{1,-1,3\}[/mm]. Stetig fortsetzbar ist die Funktion genau an diesen hebbaren Lücken, also in diesem Fall bei 1. Inwiefern du die anderen Lücken überhaupt noch untersuchen musst, hängt davon ab, wie ihr das genau definiert habt / welche Sätze ihr dazu verwenden dürft, mit der Grenzwertbetrachtung macht man aber sicher nie was falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 04.09.2008 | | Autor: | Knievel |
Wow, vielen Dank. Nach der Antwort hat es in vielen Dingen dann "Klick" gemacht.
Ein paar Fragen bleiben uns aber noch:
Zum Aufgabenteil a)
Laut Korrektur lagen wir also richtig mit unserem Definitionsbereich. Aber falls eine Aufgabe kommt die verlangt hebbare Def. Lücken zu finden wäre das die Methode dazu? Linearfaktoren zerlegen und auf "doppelt" vorkommende Linearfaktoren prüfen und diese dann aus der Gleichung kürzen.
Weiterhin wollten wir uns erkundigen, ob es eine schnellere Möglichkeit der Linearfaktorzerlegung gibt als die Polynomendivision bzw Horner Schema. In diesem Falle haben wir ja bereits 2 Nullstellen gegeben. Es wäre eine Zeitersparnis wenn man "direkt" das Polynom 2. Grades rausfinden könnte ohne 2 Polynomendivisionen.
Zum Aufgabenteil b)
Müssen wir hier um stetig zu ergänzen nur die nicht hebbaren Def Lücken untersuchen oder auch die hebbaren? Da sie ja laut Korrektur auch zu den Definitionslücken zählen?
Wir haben dann die Grenzwerte berechnet und sind bei beiden auf [mm]\bruch{6}{0}[/mm] gekommen, sprich nicht definiert.
Ist es nun möglich stetig zu ergänzen oder nicht?
Zum Aufgabenteil d)
Wird die Grenzwertbetrachtung dann nur für Nennernullstellen ausgeführt, da ja nur sie "verantwortlich" für Polstellen sein können?
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> Wow, vielen Dank. Nach der Antwort hat es in vielen Dingen
> dann "Klick" gemacht.
> Ein paar Fragen bleiben uns aber noch:
>
> Zum Aufgabenteil a)
> Laut Korrektur lagen wir also richtig mit unserem
> Definitionsbereich. Aber falls eine Aufgabe kommt die
> verlangt hebbare Def. Lücken zu finden wäre das die Methode
> dazu? Linearfaktoren zerlegen und auf "doppelt" vorkommende
> Linearfaktoren prüfen und diese dann aus der Gleichung
> kürzen.
Ja, das ist eine Möglichkeit. Man zerlegt sowohl Zähler und Nenner in Linearfaktoren. Wenn gleiche Linearfaktoren vorliegen und deren Potenz (falls nicht sowieso nur 1) im Zähler größer ist, kann man durch kürzen die Definitionslücke stetig ergänzen. Die Potenz muss im Zähler größer sein, weil sonst nach dem Kürzen im Nenner der Linearfaktor ja immer noch vorkommt, also er Nenner immer noch die Nullstelle hat, wodurch nichts gewonnen ist.
Ich habe stetig ergänzen aber eigentlich weniger durch kürzen der Linearfaktoren gelernt, sondern dass man solche tollen Fallklammern macht. Also sei f(x) so eine gebrochenrationale Funktion, z.B.
f(x) = [mm] \bruch{(x-1)*(x+2)}{(x-3)*(x-1)}
[/mm]
Dann kann man die Funktion stetig ergänzen indem man die neue Funktion [mm] f_{2}(x) [/mm] folgendermaßen definiert:
[mm] f_{2}(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{falls } x \not= 1 \\ \limes_{x\rightarrow 1}f(x) \mbox{falls } x = 1 \end{cases}
[/mm]
(falls [mm] \limes_{x\rightarrow 1-}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1+}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x) [/mm] existiert).
Das ist die Verfahrensweise, wenn man stetig ergänzen soll. Wenn man nur untersuchen soll, ob man in der Stelle a stetig ergänzen kann, muss man nur überprüfen ob [mm] \limes_{x\rightarrow a-}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a+}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x) [/mm] = k [mm] \in \IR [/mm] existiert.
> Weiterhin wollten wir uns erkundigen, ob es eine
> schnellere Möglichkeit der Linearfaktorzerlegung gibt als
> die Polynomendivision bzw Horner Schema. In diesem Falle
> haben wir ja bereits 2 Nullstellen gegeben. Es wäre eine
> Zeitersparnis wenn man "direkt" das Polynom 2. Grades
> rausfinden könnte ohne 2 Polynomendivisionen.
Mir ist keine schnellere/andere Möglichkeit bekannt. Allerdings müsst ihr ja nicht zwei Polynomdivisionen durch jeweils einen Linearfaktor [mm] (x-x_{1}) [/mm] und [mm] (x-x_{2}) [/mm] machen, sondern berechnet einfach [mm] (x-x_{1})*(x-x_{2}) [/mm] und müsst so nur eine Polynomdivision durchführen 
> Zum Aufgabenteil b)
> Müssen wir hier um stetig zu ergänzen nur die nicht
> hebbaren Def Lücken untersuchen oder auch die hebbaren? Da
> sie ja laut Korrektur auch zu den Definitionslücken
> zählen?
Stetig ergänzen kann man nur "Hebbare" Definitionslücken, deswegen heißen die ja so; bei ganz normalen Definitionslücken wie im obigen Beispiel $x = 3$ braucht man die Untersuchung gar nicht erst durchzuführen.
> Wir haben dann die Grenzwerte berechnet und sind bei
> beiden auf [mm]\bruch{6}{0}[/mm] gekommen, sprich nicht definiert.
> Ist es nun möglich stetig zu ergänzen oder nicht?
Da weiß ich nicht genau was ihr wissen wollt.
> Zum Aufgabenteil d)
> Wird die Grenzwertbetrachtung dann nur für
> Nennernullstellen ausgeführt, da ja nur sie
> "verantwortlich" für Polstellen sein können?
Genau. Bei den Zählernullstellen wird die Funktion ja (im Normalfall, falls nicht auch Definitionslücke des Nenners) 0, da gibts nichts zu untersuchen. Die Limites nehmen dann meist (eigentlich immer) Werte [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] an.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 04.09.2008 | | Autor: | Knievel |
Zu d)
Marius meinte folgendes :"Stimmen diese Beiden Grenzwerte überein, kannst du die Funktion f(x) mit dem Grenzwert an der Stelle stetig ergänzen."
Wir haben bei beiden Grenzwerten
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{((-1+\bruch{1}{n})-2)((-1+\bruch{1}{n})²+2(-1+\bruch{1}{n})+3)}{-((-1+\bruch{1}{n})+1)((-1+\bruch{1}{n})-3))}[/mm]
und
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{((-1-\bruch{1}{n})-2)((-1-\bruch{1}{n})²+2(-1-\bruch{1}{n})+3)}{-((-1-\bruch{1}{n})+1)((-1-\bruch{1}{n})-3))}[/mm]
beidemale nicht definiert als Lösung bekommen, da eine Division durch 0 heraus gekommen ist.
Ist es trotz diesem "nicht definiert" möglich die Funktion stetig an der Stelle zu ergänzen oder gerade durch diesen Fall nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 04.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Knievel!
An der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ liegt im Nenner ein Nullstelle vor, im Zähler jedoch nicht. Daher haben wir hier also eine Polstelle.
Und Polstellen sind nicht stetig hebbar.
Und genau das hast Du mit der Grenzwertberechnung auch erhalten, da Du keinen konkreten Wert für rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert erhalten hast.
Gruß
Loddar
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In der reellen Analysis ist der Grenzwert nicht definiert, was keine Zahl ist, somit auch nicht "gleich" sein kann. Wenn du hingegen einen anderen Wertebereich wählst, der noch eine "Zahl" für unendlich hat (die riemannsche Zahlenkugel), dann kannst du tatsächlich eine stetige Fortsetzung konstruieren.
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