Polstelle mit oder ohne VZW < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo MatheForum!
Woran erkenne ich eigentlich ohne GTR ob eine Polstelle mit oder ohne VZW (Vorzeichenwechsel) vorliegt?
Oder, besser gesagt, wann ist es ein Pol OHNE VZW? Und wie komme ich ohne Rechnerhilfe darauf?
So wie es z.B. der Fall ist bei
f(x)= [mm] \bruch{1}{(x-2)^{2}} [/mm] Polstelle [mm] x_0= [/mm] 2 (Pol ohne VZW)
oder
g(x)= [mm] \bruch{x^{2}}{2(x-3)} [/mm] Polstelle [mm] x_0= [/mm] 3 (Pol ohne VZW)
Bisher habe ich dafür immer im GTR nachgeschaut. Aber im Pflichtteil darf man mit dem Rechner ja nicht mehr arbeiten. :-(
Danke für die Hilfe!
LG Eli
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> Hallo MatheForum!
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> Woran erkenne ich eigentlich ohne GTR ob eine Polstelle
> mit oder ohne VZW (Vorzeichenwechsel) vorliegt?
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> Oder, besser gesagt, wann ist es ein Pol OHNE VZW? Und wie
> komme ich ohne Rechnerhilfe darauf?
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> So wie es z.B. der Fall ist bei
> f(x)= [mm]\bruch{1}{(x-2)^{2}}[/mm] Polstelle [mm]x_0=[/mm] 2 (Pol ohne
> VZW)
> oder
> g(x)= [mm]\bruch{x^{2}}{2(x-3)}[/mm] Polstelle [mm]x_0=[/mm] 3 (Pol ohne
> VZW)
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> Bisher habe ich dafür immer im GTR nachgeschaut. Aber im
> Pflichtteil darf man mit dem Rechner ja nicht mehr
> arbeiten. :-(
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> Danke für die Hilfe!
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> LG Eli
Um hier mit Überlegungen weiterzukommen, musst du sozusagen eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Du näherst dich praktisch beliebig nahe von links und rechts der Polstelle.
Im ersten Fall $ [mm] \bruch{1}{(x-2)^{2}} [/mm] $ ist die Polstelle ja x=2. Die Frage ist nun, was passiert, wenn ich mich von links nähere (1,9999) oder von rechts (2.0001)
Mathematisch ganz korrekt könntest du schreiben:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{1}{((2+h)-2)^{2}} [/mm] $
Damit schauen wir uns jetzt den Fall für x>2 an. Du hast also ein h, dass beliebig klein werden kann, nur niemals ganz 0, denn dann wäre der Term nicht definiert. Aber er kann beliebig klein werden. Der Gesamtterm muss demnach POSITIV sein, denn die Zahl 2+h ist ja immer einen Tick größer als 2 und die Differenz damit positiv.
$ [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{1}{((2-h)-2)^{2}} [/mm] $
Hier nun der umgekehrte Fall für x<2. Hier ergibt sich erst einmal, dass die Zahl 2-h geringfügig kleiner als 2 ist. Die Zahl wäre negativ, wird aber durch das Quadrat IN JEDEM FALL wieder Positiv.
Das ganze habe ich jetzt etwas ausführlich gemacht, ganz korrekt ist es so, dass wenn du die beiden Terme 2+h und 2-h vergleichst und sie ÜBEREINSTIMMEN, dann liegt logischerweise eine Polstelle OHNE VZW vor, denn die beiden Terme, ergo auch die Vorzeichen, stimmen überein.
Aber oft kannst du es einfach erkennen, wenn du dir überlegst, was für kleinere und größere Werte passiert. Wie in diesem Beispiel ist durch das Quadrat sofort klar, dass kein VZW vorliegen kann.
Exemplarisch rechne ich dir trotzdem den zweiten Fall:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{(2+h)^{2}}{2((2+h)-3)} [/mm] $
$ [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{(2-h)^{2}}{2((2-h)-3)} [/mm] $
Wie man sieht, gilt für den Nenner das selbe wie beim ersten Beispiel, das Quadrat macht das -h ebenfalls positiv. Der Zähler jedoch verhält sich anders. Würde man ihn ausmultiplizieren, würde das -h bestehen bleiben, wohingegen oben aber ein +h steht. Die beiden Terme unterscheiden sich also, daher eine Polstelle mit VZW
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Hallo!
Ich glaube, ich hab's verstanden.
Könnte ich also pauschal sagen, dass jede Funktion f mit
f(x)= [mm] \bruch{1}{(x±Z)^{gerader Exponent}} [/mm] [Z für eine beliebige Zahl]
also immer einen Pol OHNE VZW hat?
Denn der gerade Exponent macht ja Z+h und Z-h "gleich".
Richtig?
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich wünsche noch eine schöne Nacht
LG Eli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Adamantin |
Solange die Funktion so einfach gestrickt ist, geht das immer, genau das ist ja das Prinzip hinter [mm] 1/x^2, 1/x^4 [/mm] etc...wenn du dir den Graphen dieser Funktionen vergegenwärtigst, ist es ja gerade der negative Teil von 1/x, der nach oben gespiegelt wird.
Also wie gesagt, so lange du einen Term im Zähler (oder Nenner hast), der durch ein Quadrat etc beeinflusst wird, ist das Ergebnis positiv.
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