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| Aufgabe | | Warum ist z = 0 keine Polstelle der Funktion [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] ? |
Hallo!
Das ist eine Frage, die in einer Prüfung gestellt wurde. Die Antwort lautet, weil 0 nicht in der Definitionsbereich von [mm] \wurzel{z} [/mm] liegt. Das verstehe ich aber nicht. Eine Polstelle ist eine isolierte Singularität und eine isolierte Singularität ist doch eine Lücke in dem Definitionsbereich der Funktion,oder? Wie zum Beispiel [mm] \bruch{1}{z} [/mm] ist nicht bei z = 0 definiert, aber hat Polstelle bei z=0.
Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?
Grüße funktionentheorie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, funktionentheorie,
> Warum ist z = 0 keine Polstelle der Funktion
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{z}}[/mm] ?
> Das ist eine Frage, die in einer Prüfung gestellt wurde.
> Die Antwort lautet, weil 0 nicht in der Definitionsbereich
> von [mm]\wurzel{z}[/mm] liegt. Das verstehe ich aber nicht. Eine
> Polstelle ist eine isolierte Singularität und eine
> isolierte Singularität ist doch eine Lücke in dem
> Definitionsbereich der Funktion,oder? Wie zum Beispiel
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] ist nicht bei z = 0 definiert, aber hat
> Polstelle bei z=0.
Meines Erachtens hast Du Recht!
Z.B. hat die reelle Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bei x=0 einen Pol; ihre maximale Definitionsmenge ist logischer Weise D = [mm] \IR\backslash \{0 \}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Hallo!
Danke für die schnelle Antwort!
Verstehe aber noch nicht, warum dann z=0 keine Polstelle von [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] ist.
Grüße funktionentheorie
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Hi,
nochmals:
Ich denke, Du hast Recht und die Funktion HAT bei z=0 einen Pol!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Phil_W |
Die Definition einer Polstelle besagt doch dass die Funktionswerte
in der Umgebung des Punktes betragsmäßig gegen Unendlich gehen müssen.
Rechtsseitig trifft das zu,
aber linksseitig geht die Funktion doch gegen ein Vielfaches von i,
da z unter der Wurzel steht.
Bist dir sicher dass sich das noch in der Umgebung befindet?
Kann mir das für ein reelles [mm] \varepsilon [/mm] irgendwie nicht vorstellen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Definition einer Polstelle besagt doch dass die
> Funktionswerte
> in der Umgebung des Punktes betragsmäßig gegen Unendlich
> gehen müssen.
> Rechtsseitig trifft das zu,
> aber linksseitig geht die Funktion doch gegen ein
> Vielfaches von i,
Wieso? Jede komplexe Zahl z lässt sich darstellen als [mm] z=r(cos\phi +i\sin\phi), [/mm] und [mm] \wurzel{z} [/mm] ist dann [mm] \wurzel{r}(cos\bruch{\phi+2k\pi}{2}+i \cdot sin\bruch{\phi+2k\pi}{2}). [/mm] Für [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} [/mm] gilt [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}} =\bruch{1}{\wurzel{r}}(cos\bruch{-(\phi+2k\pi)}{2}+i \cdot sin\bruch{-(\phi+2k\pi)}{2}). [/mm]
Die Zahl z=0 hat mit Sicherheit den Betrag 0, aber kein festgelegtes Argument (sondern kann jedes beliebige Argument haben).
Gruß Abakus
> da z unter der Wurzel steht.
> Bist dir sicher dass sich das noch in der Umgebung
> befindet?
> Kann mir das für ein reelles [mm]\varepsilon[/mm] irgendwie nicht
> vorstellen
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Phil_W |
Was ich meinte ist dass [mm] \limes_{z\rightarrow\ 0-} \bruch{1}{\wurzel{z}}
[/mm]
in jedem fall Komplex sein muss, somit in keiner reellen Umgebung von f(0) liegt
und es sich dadurch um keine Polstelle handeln kann, was das Argument betrifft hast du natürlich recht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Sa 28.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Was ich meinte ist dass [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0-} \bruch{1}{\wurzel{z}}[/mm]
>
> in jedem fall Komplex sein muss, somit in keiner reellen
> Umgebung von f(0) liegt
> und es sich dadurch um keine Polstelle handeln kann, was
> das Argument betrifft hast du natürlich recht
Bei komplexen Funktionen verlieren Begriffe wie "linkseitig", "rechtsseitig" ... ihren Sinn. Die Annäherung an z=0 kann auch entlang der imaginären Achse (oder irgendwie "schräg") erfolgen.
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