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Polardarstellung: Lösungsweg bitte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mi 01.08.2007
Autor: neotrace

Aufgabe
man bestimme die Polardarstellung [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] von
z=1-i

hallo forum
also ich komm da immer auf [mm] z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{\pi}{4}} [/mm]
das lösungsbuch sagt aber [mm] z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{7*\pi}{4}} [/mm]

also ich hab r berechnet mit [mm] r=\wurzel{1^2+(-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm]

das stimmt ja auch schonmal mit dem ergebnis überein.
aber wie bekomm ich jetzt [mm] \phi? [/mm]
danke


        
Bezug
Polardarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mi 01.08.2007
Autor: Somebody


> man bestimme die Polardarstellung [mm]z=r*e^{i\phi}[/mm] von
>  z=1-i
>  hallo forum
>  also ich komm da immer auf
> [mm]z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{\pi}{4}}[/mm]
>  das lösungsbuch sagt aber
> [mm]z=\wurzel{2}*e^{i*\bruch{7*\pi}{4}}[/mm]
>  
> also ich hab r berechnet mit [mm]r=\wurzel{1^2+(-1)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
>  
> das stimmt ja auch schonmal mit dem ergebnis überein.
>  aber wie bekomm ich jetzt [mm]\varphi?[/mm]

Ist [mm] $z\in\IC\backslash\{0\}$, [/mm] dann ist [mm]\varphi=\tan^{-1}\frac{\Im(z)}{\Re(z)}[/mm], wobei [mm] $\Im(z)$ [/mm] der Imaginär-, [mm] $\Re(z)$ [/mm] der Realteil von $z$ ist. Vielleicht erscheint Dir diese Rechnung weniger rätselhaft, wenn Du $z$ einfach als Vektor im [mm] $\IR^2$ [/mm] auffasst und [mm] $\varphi$ [/mm] als dessen Steigungswinkel (Winkel bezüglich der $x$-Achse).


Bezug
                
Bezug
Polardarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mi 01.08.2007
Autor: neotrace

ja schon klar.
ich weiß das [mm] cos(\phi)=\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] und
                  [mm] sin(\phi)=\bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] also
                  [mm] tan(\phi)=\bruch{y}{x} [/mm]  
wobei x= Realteil von z und y= Imaginärteil von z.
aber wenn ich dann den arctan drauf anwende bekomme ich [mm] \phi [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm]  und wie komme ich dann auf das ergebnis [mm] z=\wurzel{2}*e^{i\bruch{7*\pi}{4}}? [/mm]
denk mal [mm] z=\wurzel{2}*e^{i(2\pi - \bruch{\pi}{4})}...ist [/mm] das richtig? ;)

gut, [mm] \phi [/mm] war jetzt einfach zu berechnen weil  [mm] \tan(\phi)=-1 [/mm] , aber wasmacht man wenn auf der rechten seite ein "exotischerer" bruch  steht und der taschenrechner(falls man ihn überhaupt benutzen darf) eine zahl mit vielen vielen nachkommastellen ausspuckt?

ich könnte doch aber auch [mm] \phi [/mm] durch [mm] \phi [/mm] = [mm] arccos(\bruch{1}{\wurzel{2}})=45°=\bruch{\pi}{4} [/mm] berechnen...aber da kommt was anderes raus als bei [mm] \phi [/mm] = [mm] arcsin(\bruch{-1}{\wurzel{2}})=-45°=-\bruch{\pi}{4} [/mm]

ich bin grad irgendwie voll verwirrt...ist wahrscheinlich ein total dummer fehler oder etwas, was mir ins auge springen müsste aber ich verstehs grad überhaupt nicht...




Bezug
                        
Bezug
Polardarstellung: Gauß'sche Zahlenebene
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Mi 01.08.2007
Autor: Loddar

Hallo neotrace!


> und wie komme ich dann auf das ergebnis [mm]z=\wurzel{2}*e^{i\bruch{7*\pi}{4}}?[/mm]
> denk mal [mm]z=\wurzel{2}*e^{i(2\pi - \bruch{\pi}{4})}...ist[/mm] das richtig? ;)

[ok] Genau!

Wie oben schon angedeutet, ist es oft auch ratsam, sich die entsprechende komplexe Zahel in der []Gauß'schen Zahlenebene und damit dem entsprechenden Quadranten vorzustellen.

  

> aber wasmacht man wenn auf der rechten
> seite ein "exotischerer" bruch  steht und der
> taschenrechner(falls man ihn überhaupt benutzen darf) eine
> zahl mit vielen vielen nachkommastellen ausspuckt?

Bei Verwendung des Taschenrechners kann man doch einfach mal dieses Ergebnis durch [mm] $\pi$ [/mm] teilen, um den entsprechenden Vervielfachungs-Faktor zu erhalten.

Ohne Taschenrechner ist man dann schon auf einige feste Werte aus dem Gedächtnis der Winkelfunktionen angewiesen ... oder aber wiederum Anschauung mittels Gauß'scher Zahlenebene.


Gruß
Loddar


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