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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Bildern sie die komplex konjugierte Zahl und den Betrag von
a) [mm] (3i-4)(cos(\bruch{\pi}{9})-i sin(\bruch{\pi}{9}))
[/mm]
Stellen sie in der exponentiellen Form dar:
b) (1-i)
c) - [mm] \wurzel{3}+3i [/mm] |
Hallo, ich habe ein kleines Problem, vllt kann mir ja jemand helfen ?
a)
Als erstes möchte ich [mm] (cos(\bruch{\pi}{9})-i sin(\bruch{\pi}{9})) [/mm] in die algebr. Form bringen.
r=1
[mm] a=r*cos(\bruch{\pi}{9})
[/mm]
[mm] b=r*sin(\bruch{\pi}{9})
[/mm]
So, nun komme ich nicht weiter. Wie soll ich [mm] cos(\bruch{\pi}{9}) [/mm] und [mm] sin(\bruch{\pi}{9}) [/mm] berechnen ?
b) (1-i) -> Polar ergibt bei mir [mm] \wurzel{2}*(cos(\bruch{\pi}{4})-i sin(\bruch{- \pi}{4}))
[/mm]
Wie stelle ich dies in der exponentiellen Form dar, denn ich habe ja zwei unterschiedliche Winkel ?
c) Hier ist das gleiche Problem. Ich habe als Winkel [mm] cos(\delta) [/mm] = [mm] \bruch{- \wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] sin(\delta) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{6}}{2} [/mm]
DANKE
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Hallo Tobus,
> Bildern sie die komplex konjugierte Zahl und den Betrag
> von
>
> a) [mm](3i-4)(cos(\bruch{\pi}{9})-i sin(\bruch{\pi}{9}))[/mm]
>
> Stellen sie in der exponentiellen Form dar:
>
> b) (1-i)
>
> c) - [mm]\wurzel{3}+3i[/mm]
> Hallo, ich habe ein kleines Problem, vllt kann mir ja
> jemand helfen ?
>
> a)
> Als erstes möchte ich [mm](cos(\bruch{\pi}{9})-i sin(\bruch{\pi}{9}))[/mm]
> in die algebr. Form bringen.
>
> r=1
> [mm]a=r*cos(\bruch{\pi}{9})[/mm]
> [mm]b=r*sin(\bruch{\pi}{9})[/mm]
>
> So, nun komme ich nicht weiter. Wie soll ich
> [mm]cos(\bruch{\pi}{9})[/mm] und [mm]sin(\bruch{\pi}{9})[/mm] berechnen ?
[mm]cos(\bruch{\pi}{9})[/mm] und [mm]sin(\bruch{\pi}{9})[/mm] brauchst Du hier nicht berechnen, da der Betrag 1 ist.
>
> b) (1-i) -> Polar ergibt bei mir
> [mm]\wurzel{2}*(cos(\bruch{\pi}{4})-i sin(\bruch{- \pi}{4}))[/mm]
>
> Wie stelle ich dies in der exponentiellen Form dar, denn
> ich habe ja zwei unterschiedliche Winkel ?
Im Intervall [mm]\left[-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}\right][/mm] gilt [mm]\cos\left(\phi\right) \ge 0[/mm]
Im Intervall [mm]\left[-\pi, 0\right][/mm] gilt [mm]\sin\left(\phi\right) \le 0[/mm]
Somit liegt der Winkel [mm]\phi[/mm] im Intervall [mm]\left[-\bruch{\pi}{2},0\right][/mm].
Das heißt der Winkel [mm]\phi=-\bruch{\pi}{4}[/mm] ist der richtige.
>
> c) Hier ist das gleiche Problem. Ich habe als Winkel
> [mm]cos(\delta)[/mm] = [mm]\bruch{- \wurzel{2}}{2}[/mm] und [mm]sin(\delta)[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{6}}{2}[/mm]
>
Überlege Dir, in welchem Intervall [mm]\cos\left(\phi\right) \le 0[/mm] und [mm]\sin\left(\phi\right) \ge 0[/mm] gilt.
>
> DANKE
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Tobus |
zu a)
genau der Betrag ist 1, aber warum sollte ich kann [mm] cos(\bruch{\pi}{9}) [/mm] nicht berechnen ? Nur weil der Betrag 1 ist ist ja noch keine Aussage getroffen welchen Winkel dies einschliesst
zu c)
Dir, in welchem Intervall $ [mm] \cos\left(\phi\right) \le [/mm] 0 $ und $ [mm] \sin\left(\phi\right) \ge [/mm] 0 $ gilt.
nach meiner Berechnung müsste ich den Winkel [mm] \bruch{\wurzel{6}}{2} [/mm] nehmen, also:
[mm] \wurzel{6}*(cos(\bruch{\wurzel{6}}{2})+i*sin(\bruch{\wurzel{6}}{2}))
[/mm]
Aber mein Taschenrechner sagt dass dies Falsch ist. Warum ?
DANKE
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Hallo Tobus,
> zu a)
> genau der Betrag ist 1, aber warum sollte ich kann
> [mm]cos(\bruch{\pi}{9})[/mm] nicht berechnen ? Nur weil der Betrag 1
> ist ist ja noch keine Aussage getroffen welchen Winkel dies
> einschliesst
[mm]\cos\left(\bruch{\pi}{9}\right)-i\sin\left(\bruch{\pi}{9}\right)=\cos\left(-\bruch{\pi}{9}\right)+i\sin\left(-\bruch{\pi}{9}\right)[/mm]
Der Winkel ist hier [mm]-\bruch{\pi}{9}[/mm]
>
> zu c)
> Dir, in welchem Intervall [mm]\cos\left(\phi\right) \le 0[/mm] und
> [mm]\sin\left(\phi\right) \ge 0[/mm] gilt.
>
> nach meiner Berechnung müsste ich den Winkel
> [mm]\bruch{\wurzel{6}}{2}[/mm] nehmen, also:
>
> [mm]\wurzel{6}*(cos(\bruch{\wurzel{6}}{2})+i*sin(\bruch{\wurzel{6}}{2}))[/mm]
Das mußt Du nochmal machrechnen.
>
> Aber mein Taschenrechner sagt dass dies Falsch ist. Warum
> ?
>
>
> DANKE
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Tobus |
[mm]\cos\left(\bruch{\pi}{9}\right)-i\sin\left(\bruch{\pi}{9}\right)=\cos\left(-\bruch{\pi}{9}\right)+i\sin\left(-\bruch{\pi}{9}\right)[/mm]
Der Winkel ist hier [mm]-\bruch{\pi}{9}[/mm]
Ja genau, aber ich möchte dies ja in die algebraische Form bringen:
[mm] a=1*cos(\bruch{- \pi}{9})
[/mm]
Ich bekomme hier aber keine ganze Zahl, so dass ich denken ich mache einen Fehler.
zu c)
also nochmal:
[mm] r=\wurzel{-\wurzel{3}^{2}+3^{2}} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{3}
[/mm]
[mm] cos(\delta) [/mm] = [mm] \bruch{-\wurzel{3}}{ 2*\wurzel{3}}=-0,5
[/mm]
[mm] sin(\delta) [/mm] = [mm] \bruch{3}{ 2*\wurzel{3}}=\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] cos(\delta)>=1 [\bruch{- \pi}{2}, \bruch{- \pi}{2}]
[/mm]
[mm] sin(\delta)>=1 [/mm] [0, [mm] \pi]
[/mm]
also: [0, [mm] \bruch{- \pi}{2}] [/mm] ->cos(-0,5) = [mm] \bruch{\pi}{6}
[/mm]
also: [mm] 2*\wurzel{3} [/mm] * [mm] e^{i*\bruch{\pi}{6}}
[/mm]
Warum ist das schon wieder falsch ?
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Hallo Tobus,
>
> [mm]\cos\left(\bruch{\pi}{9}\right)-i\sin\left(\bruch{\pi}{9}\right)=\cos\left(-\bruch{\pi}{9}\right)+i\sin\left(-\bruch{\pi}{9}\right)[/mm]
>
> Der Winkel ist hier [mm]-\bruch{\pi}{9}[/mm]
>
> Ja genau, aber ich möchte dies ja in die algebraische Form
> bringen:
> [mm]a=1*cos(\bruch{- \pi}{9})[/mm]
> Ich bekomme hier aber keine
> ganze Zahl, so dass ich denken ich mache einen Fehler.
>
[mm]\cos\left(-\bruch{\pi}{9}\right)[/mm] als auch [mm]\sin\left(-\bruch{\pi}{9}\right)[/mm] sind keine ganzen Zahlen.
>
> zu c)
> also nochmal:
> [mm]r=\wurzel{-\wurzel{3}^{2}+3^{2}}[/mm] = [mm]2*\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]cos(\delta)[/mm] = [mm]\bruch{-\wurzel{3}}{ 2*\wurzel{3}}=-0,5[/mm]
>
> [mm]sin(\delta)[/mm] = [mm]\bruch{3}{ 2*\wurzel{3}}=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]cos(\delta)>=1 [\bruch{- \pi}{2}, \bruch{- \pi}{2}][/mm]
>
> [mm]sin(\delta)>=1[/mm] [0, [mm]\pi][/mm]
>
> also: [0, [mm]\bruch{- \pi}{2}][/mm] ->cos(-0,5) = [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> also: [mm]2*\wurzel{3}[/mm] * [mm]e^{i*\bruch{\pi}{6}}[/mm]
>
> Warum ist das schon wieder falsch ?
Nun der Cos ist im Intervall [mm]\left[\bruch{\pi}{2},3\bruch{\pi}{2}\right][/mm] kleiner gleich Null
Somit muß der Winkel im Intervall [mm]\left[\bruch{\pi}{2},\pi\right][/mm] liegen.
Es ist
[mm]\sin\left(\bruch{\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\bruch{\pi}{6}\right)=\sin\left(5*\bruch{\pi}{6}\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zu b) in der algebraischen form stehen selten ganze Zhlen. also einfach [mm] cos(\pi/9) [/mm] mit dem TR berechnen (auf deg stellen)
2. zu c warum zeichnest du dir die Zahl nicht ein? sie liegt im 2. Quadranten, d.h. der Winkel zwischen [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] \pi
[/mm]
was du da geschrieben hast bei cos versteh ich nicht!
[mm] cos\delta=-0.5 [/mm] heisst [mm] \delta=2*\pi/3 [/mm] dasselbe fuer [mm] sin\delta=\wurzel{3}/2
[/mm]
Also die Zahl einzeichnen, dann "sieht" man die Winkel.
Gruss leduart
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