Poissonsche Summenformel < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:49 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Aegon |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourier-Transformierte der Funktion:
[mm] f(x)= \begin{cases} 1-|x| & \mbox{für } |x|\leq 1 \\ 0& \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
Wenden Sie die Poissonsche Summenformel für geeignete Wahl der Parameter auf die Funktion [mm]f(x) e^{i \alpha x}[/mm] an, um die Identität
[mm] \frac{\pi^2}{\sin^2{\pi}x}} = \sum_{n \in \IZ} \frac{1}{(n+x)^2}[/mm] zu zeigen und eine Formel für [mm] \sum_{|k| |
Mit der Formel [mm] \hat{f}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t)}e^{-ixt} dt} [/mm] komme ich für die Fouriertransformierte auf
[mm]\hat{f}(x)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} * \frac{1-\cos{x}}{x^2}[/mm]
Die Summenformel von Poisson wurde bei mir so eingeführt:
[mm] \sqrt{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}{f(n*T)} = \sqrt{\hat{T}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\hat{f}(k*\hat{T})}, [/mm]
mit beliebigen positiven Konstanten [mm]T,\hat{T}[/mm], sodass [mm] T*\hat{T}=2\pi[/mm].
Ich habe versucht mit Additionstheoremen [mm] \sqrt{\frac{2}{\pi}} * \frac{1-\cos{x}}{x^2}[/mm] auf eine Form mit Sinus zu bringen.
Also mit [mm] \sin{\frac{x}{2}}= \sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}[/mm]:
[mm]\sqrt{\frac{2}{\pi}} *\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{x^2}[/mm]
Ich komme hier aber nicht weiter.
Wie bringe ich die Funktion [mm] f(x)*e^{i\alpha x} [/mm] ins Spiel und wie zeige ich die Identität?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 07.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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