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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Ninka |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es handelt sich um eine Aufgabe, an der ich mir seit 48 Stunden den Kopf zerbreche. Folgendes:
X1 und X2 seien diskrete stu ZV.
Xi~ Poisson(ai), ai grösser 0, i =1,2.
Zu Zeigen ist
Q{k}:= P({X1=k}/{X1+X2=n})
ist für festes n [mm] \ge [/mm] 1 eine Binomialverteilung über {0,1,...,n}.
In der Lösung bin ich soweit fortgeschritten:
P({X1=k}/{X1+X2=n}) =
= P{X1=k, X1+X2=n} / P{X1+X2=n} = (bedingte W)
= P{X1=k, X2 = n-k} / P {X1+X2=n} =
= P{X1=k} * P{X2 = n-k} /P {X1+X2 =n}
Wer kann mir weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ninka!
> X1 und X2 seien diskrete stu ZV.
> Xi~ Poisson(ai), ai grösser 0, i =1,2.
> Zu Zeigen ist
> Q{k}:= P({X1=k}/{X1+X2=n})
> ist für festes n [mm]\ge[/mm] 1 eine Binomialverteilung über
> {0,1,...,n}.
>
> In der Lösung bin ich soweit fortgeschritten:
> P({X1=k}/{X1+X2=n}) =
> = P{X1=k, X1+X2=n} / P{X1+X2=n} = (bedingte W)
> = P{X1=k, X2 = n-k} / P {X1+X2=n} =
> = P{X1=k} * P{X2 = n-k} /P {X1+X2 =n}
> Wer kann mir weiterhelfen?
Du musst jetzt nur noch einsetzen. Bedenke dabei, dass [mm] $X_1+X_2$ [/mm] Poisson-verteilt mit Parameter [mm] $a_1+a_2$ [/mm] ist. Der letzte Ausruck ist gleich
[mm] $\frac{e^{-a_1} \frac{a_1^k}{k!} \cdot e^{-a_2} \frac{a_2^{n-k}}{(n-k)!}}{e^{-a_1-a_2} \frac{(a_1+a_2)^n}{n!}}$
[/mm]
$= {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot \left( \frac{a_1}{a_1+a_2}\right)^k \cdot \left( \frac{a_2}{a_1+a_2} \right)^{n-k}$.
[/mm]
Demzufolge handelt es sich um eine Binomialverteilung mit Parameter [mm] $p=\frac{a_1}{a_1+a_2}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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