Plausibler Schätzwert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende Beobachtungen stimmen von einer Verteilung mit der Dichtefunktion f(x) = [mm] \phi [/mm] * [mm] (1-x)^{\phi - 1} [/mm] im Intervall (0,1) mit [mm] \phi [/mm] > 0
0,56 0,29 0,28 0,24 0,41
Bestimmen sie den plausiblen Schätzwert von [mm] \phi [/mm] (mit Herleitung).
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Für diese Beispiel brauche ich einmal die Likelihood-Funktion, welche ich dann maximieren muss - soweit ich das richtig verstanden habe.
[mm] L(\phi, x_1,...,x_n) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} \phi [/mm] * [mm] (1-x)^{\phi - 1} [/mm] = [mm] \phi^n [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1-x)^{\phi - 1}
[/mm]
Soweit komme ich mal. Bei den Beispielen, die ich bis jetzt gerechnet habe, war das x immer im Exponenten, deshalb ergab sich immer irgendwo ein [mm] \sum_{i=1}^{n} x_i [/mm] , was dann der Mittelwert war, also [mm] \bar{X_n}. [/mm] Aber bei dem Beispiel funtkioniert das nicht - wie komme ich da weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Fr 26.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast die Likelihood Funktion
[mm] L(x_1, [/mm] .. [mm] x_n|\phi)=\produkt_{i=1}^{n}\phi*(1-x_i)^\phi [/mm] die für gegebene [mm] x_i, [/mm] i=1,..n bzgl. [mm] \phi [/mm] minimiert werden muss.
Das kann dadurch erreicht werden, in dem man den Logartihmus der Likelihood Funktion bildet und diese für [mm] \phi [/mm] minimiert. Also die Gleichung
[mm] \bruch{\partial}{\partial\phi}ln[L(x_1, [/mm] .. [mm] x_n|\phi)]=0 [/mm] nach [mm] \phi [/mm] auflöst. Es ergibt sich als Schätzwert für [mm] \phi
[/mm]
[mm] \hat \phi=-\bruch{n}{\summe_{i=1}^{n}ln(1-x_i)}
[/mm]
Nun kann man die Werte für [mm] x_i [/mm] einsetzen und erhält [mm] \hat \phi
[/mm]
mfg ullim
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Ohh, sehr gut - ich werde das mal durchrechnen. Das hat mir auf jeden Falle schon geholfen!
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