Picard Lindelöff Iteration < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 So 30.01.2011 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | | Lösen Sie das AWP y'=x*y, y(0)=1 mit der Picard- Lindelöff- Iteration. |
Hallo allesamt,
habe gerade leider einen kleinen Hänger bei der Aufgabe.
Habe angefangen:
[mm] y_{1}=1+\integral_{0}^{x}{1*t dt} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
[mm] y_{2}=1 [/mm] + [mm] \bruch{x^{2}}{2}+\integral_{0}^{x}{t*(1 + \bruch{x^{2}}{2} )dt} =\bruch{x^{4}}{4} [/mm] + [mm] x^{2}+1
[/mm]
etc.
Ich hoffe die Vorgehensweise ist so i.O.?
Nach noch 1 Schritt habe ich dann für mich also herausgefunden:
[mm] y_{n}=\bruch{(x^{2}+2)^{n}}{2^{n}}
[/mm]
oder auch als Summe:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{2*k}}{2^{k}}
[/mm]
Idealerweise sollte nun ja eine Funktion herauskommen, wenn ich die Summe vom 0 bis Unendlich bilde oder liege ich falsch in der Annahme .. ?
Jedenfalls bekomme ich leider bei der Einsetzen in Derive keine Funktion heraus und weiß auch sonst nun leider nichts mit dem Ergebnis anzufangen :/
Ich bin für jeden Ratschlag sehr dankbar!
Vorab vielen Dank
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum o.Ä. gestellt.
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Hallo Maggons,
> Lösen Sie das AWP y'=x*y, y(0)=1 mit der Picard-
> Lindelöff- Iteration.
> Hallo allesamt,
> habe gerade leider einen kleinen Hänger bei der Aufgabe.
>
> Habe angefangen:
> [mm]y_{1}=1+\integral_{0}^{x}{1*t dt}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]y_{2}=1[/mm] + [mm]\bruch{x^{2}}{2}+\integral_{0}^{x}{t*(1 + \bruch{x^{2}}{2} )dt} =\bruch{x^{4}}{4}[/mm]
Der zweite Summand [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] vor dem Integral ist überflüssig.
Hier musst Du doch rechnen:
[mm]y_{2}=1+\integral_{0}^{x}{t*(1 + \bruch{\blue{t}^{2}}{2} )dt}[/mm]
> + [mm]x^{2}+1[/mm]
>
> etc.
>
> Ich hoffe die Vorgehensweise ist so i.O.?
>
> Nach noch 1 Schritt habe ich dann für mich also
> herausgefunden:
>
> [mm]y_{n}=\bruch{(x^{2}+2)^{n}}{2^{n}}[/mm]
>
> oder auch als Summe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{2*k}}{2^{k}}[/mm]
>
> Idealerweise sollte nun ja eine Funktion herauskommen, wenn
> ich die Summe vom 0 bis Unendlich bilde oder liege ich
> falsch in der Annahme .. ?
>
> Jedenfalls bekomme ich leider bei der Einsetzen in Derive
> keine Funktion heraus und weiß auch sonst nun leider
> nichts mit dem Ergebnis anzufangen :/
>
> Ich bin für jeden Ratschlag sehr dankbar!
>
> Vorab vielen Dank
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum o.Ä.
> gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 30.01.2011 | | Autor: | Maggons |
Hallo und vorab vielen Dank für die Antwort,
natürlich ein dummer Fehler meinerseits.
Bin einfach mal davon ausgegangen, dass vor dem Integral [mm] y_{n} [/mm] und nicht [mm] y_{0} [/mm] steht.
Das ganze nun nochmal neu aufgerollt komme ich nach dem 3. Schritt auf:
1 + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{x^{6}}{8}
[/mm]
irgendwie scheint mir das (wieder) die Summe:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{2\cdot{}k}}{2^{k}}
[/mm]
zu sein ... worauf ich leider immernoch keine Lösung parat habe :/
Aber wahrscheinlich habe ich mich wieder vertan ... ?
Und noch zur Schreibweise:
weil du mein x innerhalb des Integrals scheinbar bewusst zu einem t gemacht hast, muss ich mal nachfragen, ob man das dann als Konstante sieht (so wie ich das dann fälscherlicherweise gemacht hätte) oder aber muss alle x dann im Rahmen des Integrierens wieder zu einem t machen .. ?
Für den Fall, dass 2. gilt habe ich einfach auch schonmal ein paar Iterationsschritte durchgerechnet, sehe aber leider auch da ... spontan nichts.
Ich hätte als Lösung:
1 +1 + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{8} [/mm] + [mm] \bruch{x^{6}}{48} [/mm] + [mm] \bruch{x^{8}}{384}
[/mm]
anzubieten ... bin aber leider nicht so recht in der Lage die Regelmäßigkeit im Nenner auszumachen :/
man müsste halt immer den derzeitigen Exponenten mit dem vorigen Nenner multiplizieren, aber wie soll man das in eine Reihe packen ..? :/
Hoffe nochmals auf ein wenig Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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Hallo Maggons,
> Hallo und vorab vielen Dank für die Antwort,
> natürlich ein dummer Fehler meinerseits.
>
> Bin einfach mal davon ausgegangen, dass vor dem Integral
> [mm]y_{n}[/mm] und nicht [mm]y_{0}[/mm] steht.
>
>
> Das ganze nun nochmal neu aufgerollt komme ich nach dem 3.
> Schritt auf:
> 1 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x^{4}}{4}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^{6}}{8}[/mm]
>
> irgendwie scheint mir das (wieder) die Summe:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{2\cdot{}k}}{2^{k}}[/mm]
>
> zu sein ... worauf ich leider immernoch keine Lösung parat
> habe :/
>
> Aber wahrscheinlich habe ich mich wieder vertan ... ?
>
Ja, da hast Du dich wieder vertan.
>
> Und noch zur Schreibweise:
> weil du mein x innerhalb des Integrals scheinbar bewusst
> zu einem t gemacht hast, muss ich mal nachfragen, ob man
> das dann als Konstante sieht (so wie ich das dann
> fälscherlicherweise gemacht hätte) oder aber muss alle x
> dann im Rahmen des Integrierens wieder zu einem t machen ..
> ?
>
> Für den Fall, dass 2. gilt habe ich einfach auch schonmal
> ein paar Iterationsschritte durchgerechnet, sehe aber
> leider auch da ... spontan nichts.
>
> Ich hätte als Lösung:
>
> 1 +1 + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x^{4}}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{x^{6}}{48}[/mm] + [mm]\bruch{x^{8}}{384}[/mm]
Hier muss es doch so lauten:
[mm]1 + \bruch{x^{2}}{2} + \bruch{x^{4}}{8} + \bruch{x^{6}}{48} + \bruch{x^{8}}{384}[/mm]
>
> anzubieten ... bin aber leider nicht so recht in der Lage
> die Regelmäßigkeit im Nenner auszumachen :/
> man müsste halt immer den derzeitigen Exponenten mit dem
> vorigen Nenner multiplizieren, aber wie soll man das in
> eine Reihe packen ..? :/
Irgendwie mußt Du das auf eine bekannte Taylorreihe zurückführen.
Versuche hier aus dem n. Summanden [mm]\bruch{1}{\left(n-1\right)!}[/mm] auszuklammern.
>
> Hoffe nochmals auf ein wenig Hilfe
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 So 30.01.2011 | | Autor: | Maggons |
Hallo Mathepower und vielen Dank für deine Bemühungen,
aber Taylorreihen haben wir noch nicht behandelt und wenn das die einzige Möglichkeit ist hier zu einem Ende zu kommen, hat der Dozent wohl leider ein wenig zu hoch gegriffen und ich bin an dieser Stelle raus.
Dennoch nochmal vielen Dank für die Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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