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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Bersling |
| Aufgabe | Die lineare homogene Differentialgleichung [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = Ax in [mm] \IR^3 [/mm] sei durch die Matrix: A = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 } [/mm] gegeben. Ferner sei E [mm] \subset \IR^3 [/mm] die Ebene E = { [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] = 0 }.
a) Die Anfangsbedingung einer Lösung x(t) sei x(0) [mm] \in [/mm] E. Zeigen Sie: x(t) [mm] \in [/mm] E für alle t [mm] \in \IR [/mm] |
Ich habe das Problem gelöst, indem ich separiert habe, was dann schliesslich
[mm]x_{1}=e^-t*C[/mm]
gibt und danach die Anfangsbed. eingesetzt habe:
[mm]x_{1}(0)=0 \Rightarrow C=0 \Rightarrow x_{1}(t) = e^-t*0=0 \forall t \in \IR[/mm]
Dass dies die einzige Lösung ist folgt mit der Stetigkeit bzw. lokalen Lipschitz Stetigkeit und Picard-Lindelöf. Die Musterlösung hat das aber auch ohne die Lösung explizit auszurechnen geschafft:
Sei x(t) eine Lösung der DGL [mm]\bruch{dx}{dt}=Ax[/mm]. Es gilt [mm]\bruch{dx_{1}}{dt}_{}(t)=-x_{1}(t)[/mm] (Matrix mal Vektor) und aus [mm]x_{1}(0)=0[/mm] folgt [mm]x_{1}(t)=0[/mm] für alle t (Existenz und Eindeutigkeitssatz).
Ich habe ja die gleiche Lösung, bis auf den letzten Schritt, wo die Musterlösung durch Verwendung von Picard-Lindelöf direkt auf den Beweis kommt, ich jedoch erst alles durchrechnen muss. Ich verstehe aber nicht, warum Picard-Lindelöf ihm diese Abkürzung liefert! Beispielsweise könnte eine einfache Funktion doch auch lauten:
[mm]\bruch{dx}{dt}=2t \Rightarrow x(t)=t^2 + C[/mm]
Anfangsbedingung: [mm]x(0)=0 \Rightarrow x(t) = t^2[/mm]
Dann bleibt x(t) ja auch nicht konstant 0! Wieso kann die Musterlösung jetzt beim Originalbsp. sagen [mm]x_{1}(t)=0 \forall t \in \IR[/mm]? Hat er heimlich auch die ganze Separation durchgerechnet?  Vielen Dank,
Grüsse Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Fr 18.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Daniel,
ich würde mal so überlegen: Wenn die Anfangswertaufgabe aufgrund des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes genau eine Lösung hat und ich habe eine (nämlich die, bei der [mm] x_{1}(t)=0), [/mm] dann ist jede andere Lösung natürlich die gleiche. M.a.W. man muss nur zeigen, dass ein x mit [mm] x_{1}(t)=0, [/mm] die Anfangswertaufgabe erfüllt.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Und woher hast du diese eine Lösung x(t) = 0?
Die eine Lösung könnte ja auch x(t) = [mm] t^2 [/mm] sein, dies würde ebenso die Anfangsbedingungen erfüllen.
Folgt x(t) = 0 irgendwie direkt aus [mm]\dot x_{1} = -x_{1}[/mm] ohne zu separieren?
Grüsse Daniel
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> Und woher hast du diese eine Lösung x(t) = 0?
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> Die eine Lösung könnte ja auch x(t) = [mm]t^2[/mm] sein, dies würde
> ebenso die Anfangsbedingungen erfüllen.
>
> Folgt x(t) = 0 irgendwie direkt aus [mm]\dot x_{1} = -x_{1}[/mm]
> ohne zu separieren?
>
> Grüsse Daniel
Hallo Daniel,
ich glaube, da herrscht noch ein wenig Unklarheit mit den
Bezeichnungen (ich bin zuerst auch darüber gestolpert, dass
x(t) hier ein Dreiervektor ist und nicht einfach eine Zahl):
[mm] x(t)=\vektor{x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)}
[/mm]
Offensichtlich ist natürlich hier [mm] x(t)=\vektor{0\\0\\0} [/mm] (für alle [mm] t\in \IR)
[/mm]
eine Lösung der Differentialgleichung. Die entsprechende
"Lösungskurve" besteht aus einem einzigen Punkt.
x(t) = [mm]t^2[/mm] macht keinen Sinn, weil ja eben 3 Komponenten
erforderlich sind. Falls du den Ansatz
[mm] x(t)=\vektor{t^2\\0\\0}
[/mm]
gemeint haben solltest: der erfüllt zwar die Anfangsbedingung,
jedoch nicht die Differentialgleichung.
Man könnte sich die Lösungskurvenschar der DGL in diesem
Beispiel etwa so vorstellen: Die Ebene x1=0 stellt eine Art
Trennwand dar. Eine Lösungskurve, die einen ihrer
Punkte enthält, liegt ganz in dieser Ebene. Lösungskurven,
die nicht in dieser Ebene liegen, liegen entweder ganz
auf der einen oder aber ganz auf der anderen Seite dieser
Scheidewand.
Gruß
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Ich glaube, es gibt wirklich eine ganz einfache Antwort, bei der
man die DGL gar nicht lösen muss.
Da für die Matrix A und alle Vektoren x der Form [mm] \vektor{0\\y(t)\\z(t)}
[/mm]
gilt
[mm] \bruch{dx}{dt}=A*\vektor{0\\y(t)\\z(t)}=\vektor{0\\-z(t)\\y(t)}
[/mm]
ist klar, dass von einem Startpunkt in der Ebene x=0 kein
Weg zu einem Punkt mit x [mm] \ne [/mm] 0 führen kann ! (weil die Null
in der ersten Komponente von [mm] \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] zur Folge hat,
dass sich in der ersten Komponente von x(t) auch nichts
ändern kann, wenn da schon eine Null war).
> Die Musterlösung hat das aber auch ohne die Lösung explizit
> auszurechnen geschafft:
> Sei x(t) eine Lösung der DGL [mm]\bruch{dx}{dt}=Ax[/mm]. Es gilt
> [mm]\bruch{dx_{1}}{dt}_{}(t)=-x_{1}(t)[/mm] (Matrix mal Vektor) und
> aus [mm]x_{1}(0)=0[/mm] folgt [mm]x_{1}(t)=0[/mm] für alle t
> (Existenz und Eindeutigkeitssatz).
Die Gleichung [mm]\bruch{dx_{1}}{dt}_{}(t)=-x_{1}(t)[/mm] liefert dieses
Ergebnis natürlich auch; ich habe die Null an der Stelle von [mm] x_1 [/mm]
einfach schon eingesetzt.
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Okay,jetzt habe ich das verstanden! Wenn ich einfach mal 0 einsetzte stimmt die Gleichung, und weil das dann eine Lösung ist, ist es nach Picard-Lindelöf auch die einzige! Würde ich hingegen x(t) = [mm] t^2 [/mm] einsetzten, gäbe es bei
x(3) = 9 ungleich [mm]\dot x(3) = 6[/mm] und es wäre keine Lösung.
Danke an beide Autoren!
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> Okay,jetzt habe ich das verstanden! Wenn ich einfach mal 0
> einsetzte stimmt die Gleichung, und weil das dann eine
> Lösung ist, ist es nach Picard-Lindelöf auch die einzige!
> Würde ich hingegen x(t) = [mm]t^2[/mm] einsetzten, gäbe es bei
>
> x(3) = 9 ungleich [mm]\dot x(3) = 6[/mm] und es wäre keine Lösung.
>
> Danke an beide Autoren!
Danke für die Antwort.
Nur verstehe ich jetzt leider überhaupt nicht, was du mit den Zeilen
> Würde ich hingegen x(t) = [mm]t^2[/mm] einsetzten, gäbe es bei
>
> x(3) = 9 ungleich [mm]\dot x(3) = 6[/mm] und es wäre keine Lösung.
meinst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Ich dachte am Anfang, x(0) = 0 impliziert von alleine, dass für alle t gilt: x(t) = 0.
Dann hätte mir aber nicht eingeleuchtet, warum x(0) = 0 nicht auch für eine DGL mit der Lösung x(t) = [mm] t^2 [/mm] Anfangsbedingung sein kann, wobei x(t) = [mm] t^2 [/mm] eine willkürlich gewählte Gleichung war.
Jetzt habe ich aber verstanden, dass durch die zusätzlich ausgerechnete Gleichung:
[mm]\dot x(t) = -x(t)[/mm]
x(t) = [mm] t^2 [/mm] (und mit Picard-Lindelöf auch alle weiteren =) )
Gleichungen flasch sind, ausser der Gleichung
x(t) = 0
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Die vorliegende DGL hat unendlich viele Lösungskurven,
und zwar unendlich viele, die in der Ebene E liegen und
unendlich viele, die keinen Punkt von E enthalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Aber weil es ein AWP ist, hat die DGL doch eben nur gerade die Lösung, mit x(t) = 0 für alle t?
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> Aber weil es ein AWP ist, hat die DGL doch eben nur gerade
> die Lösung, mit x(t) = 0 für alle t?
Die Aufgabe lautete:
| Aufgabe | Die lineare homogene Differentialgleichung [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = Ax in [mm] \IR^3 [/mm] sei durch die Matrix: A = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 } [/mm] gegeben. Ferner sei E [mm] \subset \IR^3 [/mm] die Ebene E = { [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^3 [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] = 0 }.
a) Die Anfangsbedingung einer Lösung x(t) sei x(0) [mm] \in [/mm] E. Zeigen Sie: x(t) [mm] \in [/mm] E für alle t [mm] \in \IR [/mm] |
Die Anfangsbedingung lautet ja eben nicht [mm] x(0)=0=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
sondern eben nur x(0) [mm] \in [/mm] E , was im Klartext heisst: [mm] x(0)=\vektor{0\\y\\z} [/mm] mit irgendwelchen
noch frei zu wählenden Anfangswerten [mm] y\in \IR [/mm] und [mm] z\in \IR [/mm] .
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 So 20.07.2008 | | Autor: | Bersling |
Ah, so war das gemeint! Okay, danke für die Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mo 21.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei
$ [mm] x(t)=\vektor{x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)} [/mm] $
eine Lösung des homogenen linearen Systems und [mm] x_1(0) [/mm] = 0
Wir bezeichnen (vorübergehend) mit y die erste komponente von x.
Diese Funktion ist eine Lösung des Anfangswertproblems
(*) y' = -y, y(0) = 0.
Der Existenz- und eindeutigkeitssatz von Picard - Lindelöf besagt: (*) hat genau eine Lösung. Die Nullfunktion ist , wie man sofort sieht, eine Lösung von (*). Also gilt y(t) = 0 für jedes t in R.
Fazit: [mm] x_1(t) [/mm] = 0 für jedes t in R
FRED
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