Personen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Vier Personen A,B,C und D setzen sich in zufälliger Anordnung an einen runden Tisch.Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzen A und B nebeneinander?
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Hallo^^
Es gibt ja insgesamt 24 verschiedene Möglichkeiten,wie sich die Personen hinsetzen können.
Muss hier vielleicht [mm] \bruch{1}{12}*4=\bruch{1}{3} [/mm] rechnen?Also ist die W. ungefähr 33,3%?
Vielen Dank
lg
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Hallo
> Vier Personen A,B,C und D setzen sich in zufälliger
> Anordnung an einen runden Tisch.Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit sitzen A und B nebeneinander?
> Es gibt ja insgesamt 24 verschiedene Möglichkeiten,wie
> sich die Personen hinsetzen können.
> Muss hier vielleicht [mm]\bruch{1}{12}*4=\bruch{1}{3}[/mm]
> rechnen?Also ist die W. ungefähr 33,3%?
Wie du auf die Rechnung kommst, is mir völlig unklar.
Ich würds mir folgendermaßen klarmachen:
A setzt sich an irgendeinen Platz des Tisches, ganz egal, welcher.
Nun verbleiben für B noch 3 Plätze zur Auswahl.
2 davon sind direkt links bzw. rechts neben A, der 3. Platz (sagen wir mal) ist A gegenüber.
Also mit welcher Wk sitzt demzufolge B neben A?
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> > Vier Personen A,B,C und D setzen sich in zufälliger
> > Anordnung an einen runden Tisch.Mit welcher
> > Wahrscheinlichkeit sitzen A und B nebeneinander?
>
> > Es gibt ja insgesamt 24 verschiedene Möglichkeiten,wie
> > sich die Personen hinsetzen können.
> > Muss hier vielleicht [mm]\bruch{1}{12}*4=\bruch{1}{3}[/mm]
> > rechnen?Also ist die W. ungefähr 33,3%?
>
> Wie du auf die Rechnung kommst, is mir völlig unklar.
> Ich würds mir folgendermaßen klarmachen:
> A setzt sich an irgendeinen Platz des Tisches, ganz egal,
> welcher.
> Nun verbleiben für B noch 3 Plätze zur Auswahl.
> 2 davon sind direkt links bzw. rechts neben A, der 3.
> Platz (sagen wir mal) ist A gegenüber.
> Also mit welcher Wk sitzt demzufolge B neben A?
Mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{2}{3}?
[/mm]
lg
> Viele Grüße
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Du musst die biden als Permutationsgruppe zusammenfassen, da es ja egal ist, ob A neben B sitzt oder umgekehrt.
Des Weiteren ist wichtig, ob es ein runder Tisch ist oder ein gerader Tisch.
Sei G die Anzahl der Gäste und X die Zahl derer die in beliebiger Reihenfolge nebeneinandersitzen wollen.
Für einen geraden Tisch:
p(A) = Das bedeutet:
[mm] \frac{X!*(G-(X-1))!}{G!}
[/mm]
Also in diesem Fall:
[mm] \frac{2!*(4-(2-1))!}{4!}
[/mm]
[mm] -->\frac{2!*3!}{4!}
[/mm]
Das ergibt dann 0,5 und das sind dann wiederrum 50 %
An einem runden Tisch kommt dann ja noch das andere Ende dazu, ich schreibe dir hier jetzt wie es geht, kann dir aber nicht sagen, warum das so ist:
[mm] \frac{X!*(G-(X-1))!+X!*(G-(X)!}{G!}
[/mm]
In deinem Beispiel also:
[mm] \frac{2!*(4-(2-1))!+2!*(4-(2)!}{4!}
[/mm]
[mm] \frac{2!*3!+2!*(4-(2)!}{4!}
[/mm]
[mm] \frac{2!*3!+2!*2!}{4!}
[/mm]
[mm] \frac{2*6+2*2}{24}
[/mm]
[mm] \frac{16}{24} [/mm] = 0,666667
Damit liegt die Wahrscheinlichkeit an einem runden Tisch bei 66,67%
Hoffe das ist jetzt alles so richtig und dass ich dir damit helfen konnte :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 30.09.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Also da fand ich meine Erklärung letztlich nahezu trivial zu verstehen im Gegensatz zu dem Riesenkasten von Formeln.
Und ja Mandy90 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] war richtig.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mi 30.09.2009 | | Autor: | dxlegends |
Ja, deine Erklärung war trivial ;) und zur anfänglichen Versinnbildlichung ist sie auch nicht schlecht.
Allerdings kommst du damit nur sehr langsam weiter, wenn der Tisch dann nicht 4 sondern 8, 16, oder gar 100 Plätze hat.
Im Grunde habe ich nur 2 Formeln gegeben und der Rest ist lediglich das Einsetzen der gegebenen Werte.
Nehmen wir ein Beispiel:
8 Freunde gehen ins Kino und kaufen sich alle Eintrittskarten einer Reihe mit 20 Plätzen. Die Karten werden zufällig ausgespuckt.
Jetzt ist die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass alle 8 Freunde nebeneinander sitzen.
Durch die gegebenen Formeln muss der Anwender nur noch ganz bequem einsetzen:
[mm] \frac{8!*20-(8-1)!}{20!}
[/mm]
oder schon weiter gerechnet:
[mm] \frac{8!*13!}{20!}
[/mm]
diesen Bruch nur noch in den Taschenrechner eintippen und ausrechnen lassen :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mi 30.09.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo
> Allerdings kommst du damit nur sehr langsam weiter, wenn
> der Tisch dann nicht 4 sondern 8, 16, oder gar 100 Plätze
> hat.
Wieso denn, ich könnt die Wahrscheinlichkeit, dass A und B an nem runden Tisch mit x Plätzen nebeneinander sitzen entsprechend dem wie ich es mir veranschaulicht habe, verallgemeinern:
P= [mm] \bruch{2}{x-1} [/mm] , wobei das x [mm] \ge [/mm] 3 sein sollte.
Für den Fall x=2 ist die Wk 1.
> Im Grunde habe ich nur 2 Formeln gegeben und der Rest ist
> lediglich das Einsetzen der gegebenen Werte.
> Nehmen wir ein Beispiel:
> 8 Freunde gehen ins Kino und kaufen sich alle
> Eintrittskarten einer Reihe mit 20 Plätzen. Die Karten
> werden zufällig ausgespuckt.
> Jetzt ist die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass alle
> 8 Freunde nebeneinander sitzen.
Ich bin halt nicht so der Fan vom "sturen" in Formeln einsetzen,ich finde Wahrscheinlichkeitsrechnung muss man sich bei solchen Dingen noch vorstellen und veranschaulichen können. Ich würd auch die Aufgabe ohne jede Formel einfach folgendermaßen lösen:
Es gibt wenn man die Reihenfolge nicht berücksichtigt [mm] \vektor{20 \\ 8} [/mm] mögliche Sitzverteilungen.
Und günstige Ereignisse geht man eindurch: Die 1. Möglichkeit wär die Plätze 1-8 zu besetzen, und die letzte Möglichkeit, die Plätze 13-20 zu besetzen. Macht summa summarum 13 günstige Ereignisse, also ist die Wk: [mm] \bruch{13}{\vektor{20 \\ 8}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9690}. [/mm]
Das stimmt offensichtlich mit dem überein, was du raus hast...
> Durch die gegebenen Formeln muss der Anwender nur noch
> ganz bequem einsetzen:
>
>
> [mm]\frac{8!*20-(8-1)!}{20!}[/mm]
>
> oder schon weiter gerechnet:
> [mm]\frac{8!*13!}{20!}[/mm]
>
> diesen Bruch nur noch in den Taschenrechner eintippen und
> ausrechnen lassen :)
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mi 30.09.2009 | | Autor: | dxlegends |
Dann musst du trotzdem noch eine allgemeine Formel draus machen, die sich auch anwenden lässt ;)
Die müsste demnach so aussehen:
Sei G die Anzahl der Gäste und X die Zahl derer die in beliebiger Reihenfolge nebeneinandersitzen wollen.
[mm] \bruch{(G-(X-1)}{\vektor{G \\ X}}
[/mm]
Denn deine Rechnung muss auch für andere Aufgaben nachvollziehbar sein und dazu dienen nun einmal die allgemeinen Formeln.
Inwiefern deine Version tatsächlich stimmt, kann ich nicht sagen ;)
Ich habe grade keine Lust das nachzurechnen, gehe aber erstmal davon aus, dass es stimmt.
Ich habe hier lediglich die Variante erklärt, die ich auch im Unterricht hatte und die Genauigkeit insbesondere mit der allgemeinen Formel und den vielen Zwischenschritten soll lediglich dazu dienen, das Problem für den Fragesteller zu lösen ;)
Ach ja , wenn dann innerhalb dieser 8ter Gruppe wieder eine bestimmte Reihenfolge beachtet werden müsste, muss man die Formel (in beiden Fällen) noch erweitern
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mi 30.09.2009 | | Autor: | dxlegends |
Nicht raten ;)
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