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| Aufgabe | Sei [mm] $\pi_1, \pi_2 \in S_6$ [/mm] mit
[mm] $$\pi_1 [/mm] := [mm] \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&3&6&4&2\end{pmatrix}$$
[/mm]
[mm] $$\pi_2 [/mm] := [mm] \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&1&6&5\end{pmatrix}$$
[/mm]
a) Schreibe [mm] $\pi_1, \pi_2$ [/mm] in Zyklenschreibweise
b) Berechne das Produkt [mm] $\pi_1 \cdot \pi_2$ [/mm] |
Hi,
Ich arbeite gerade die Globalübung nach, und stehe auf dem Schlauch wie unsere Dozentin auf die Ergebnisse kommt.
Zunächst die Zyklenschreibweise.
a)
[mm] $$\pi_1 [/mm] := [mm] \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&3&6&4&2\end{pmatrix} [/mm] = (2,5,4,6)$$
[mm] $$\pi_2 [/mm] := [mm] \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&1&6&5\end{pmatrix} [/mm] = (1,3,4)(5,6)$$
Dies ist soweit klar.
Das Produkt bereitet mir aber noch Kopfschmerzen
b)
Mit der Matrixschreibweise würde ich ja einfach zunächst [mm] $\pi_1$ [/mm] aufschreiben und dann unter die 2. Zeile die entsprechenden Übergänge von [mm] $\pi_2$ [/mm] ergänzen. Also:
[mm] $$\pi_1 [/mm] := [mm] \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&3&6&4&2\\3&6&4&5&1&2&\end{pmatrix}$$
[/mm]
Ergibt die Zyklen: (1,3,4,5)(2,6)
Laut Globalübung ist jedoch:
[mm] $$\pi_1 \cdot\pi_2(2,5,4,6)(1,3,4)(5,6) [/mm] = (1,3,6,4)(5,2)$$
Wäre gute wenn mir jemand
1. erklären könnte was bei meiner Matrixschreibweise falsch ist, und
2. erklären könnte wir man aus der Zyklenschreibweise das Ergebnisse berechnet
gruß
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Di 03.11.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sei [mm]\pi_1, \pi_2 \in S_6[/mm] mit
>
> [mm]\pi_1 := \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&3&6&4&2\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\pi_2 := \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&1&6&5\end{pmatrix}[/mm]
>
> a) Schreibe [mm]\pi_1, \pi_2[/mm] in Zyklenschreibweise
>
> b) Berechne das Produkt [mm]\pi_1 \cdot \pi_2[/mm]
> Hi,
> Ich arbeite gerade die Globalübung nach, und stehe auf
> dem Schlauch wie unsere Dozentin auf die Ergebnisse kommt.
>
> Zunächst die Zyklenschreibweise.
> a)
> [mm]\pi_1 := \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&3&6&4&2\end{pmatrix} = (2,5,4,6)[/mm]
>
> [mm]\pi_2 := \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&2&4&1&6&5\end{pmatrix} = (1,3,4)(5,6)[/mm]
>
> Dies ist soweit klar.
>
> Das Produkt bereitet mir aber noch Kopfschmerzen
>
> b)
> Mit der Matrixschreibweise würde ich ja einfach zunächst
> [mm]\pi_1[/mm] aufschreiben und dann unter die 2. Zeile die
> entsprechenden Übergänge von [mm]\pi_2[/mm] ergänzen. Also:
>
> [mm]\pi_1 := \begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&3&6&4&2\\3&6&4&5&1&2&\end{pmatrix}[/mm]
Das ist nicht [mm] \pi_1, [/mm] sondern etwas Neues.
> Ergibt die Zyklen: (1,3,4,5)(2,6)
>
> Laut Globalübung ist jedoch:
>
> [mm]\pi_1 \cdot\pi_2(2,5,4,6)(1,3,4)(5,6) = (1,3,6,4)(5,2)[/mm]
>
> Wäre gute wenn mir jemand
> 1. erklären könnte was bei meiner Matrixschreibweise
> falsch ist, und
> 2. erklären könnte wir man aus der Zyklenschreibweise
> das Ergebnisse berechnet
ad 1: Du hast die Dinger falschherum verkettet, und weil die Verknüpfung nicht kommutativ ist, gibt es unterschiedliche Ergebnisse. Permutationen liest man heutzutage wie Abbildungen von rechts nach links, daher bedeutet [mm] \pi_1 \cdot \pi_2 [/mm] 'mach erst [mm] \pi_2 [/mm] und dann [mm] $\pi_1$'. [/mm] Also muß bei der Matrix (hier eher ein unpassendes Wort) [mm] \pi_2 [/mm] nach oben und [mm] \pi_1 [/mm] darunter. In alten Büchern ist das manchmal anders.
ad 2: Ganz entsprechend, du fängst rechts an
(2,5,4,6)(1,3,4)(5,6):
aus 5 wird 6, dann passiert mit der 6 nix, dann wird aus 6 die 2
2 bleibt 2, 2 bleibt 2, 2 wird 5
[mm] \Rightarrow [/mm] (2 5)
6 wird 5, 5 bleibt, 5 wird 4 usw.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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