Permutationsmat/Rechenaufwand < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:21 Di 01.01.2013 | | Autor: | Sam90 |
| Aufgabe | Es seien die regulären Matrizen A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] und B [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] gegeben, wobei [mm] A=\pmat{ \* & \* & \cdots & \* \\ \* & \* & & \\ \vdots & & \ddots & \\ \* & & & \*} [/mm] und [mm] B=\pmat{ \* & & & \* \\ & \* & & \* \\ & & \ddots & \vdots \\ \* & \* & \cdots & \*}.
[/mm]
Es darf o.B.d.A. angenommen werden, dass die Pivotelemente auf der Diagonalen von A bzw. B ungleich Null sind.
(a) Bestimmen Sie die Permutationsmatrizen P und Q für PAQ=B.
(b) Bestimmen Sie jeweils den Rechenaufwand für die Berechnung der LR-Zerlegungen [mm] A=L_{1}R_{1} [/mm] und [mm] B=L_{2}R_{2}. [/mm] Kann man etwas über die Struktur der Matrizen [mm] L_{1}, R_{1}, L_{2} [/mm] und [mm] R_{2} [/mm] festhalten?
(c) Geben Sie einen Algorithmus zur Lösung des linearen Gleichungssystems [mm] Av=f_{1} [/mm] an, der die LR-Zerlegung und die Permutationsmatrizen P und Q berücksichtigt. Geben Sie außerdem den zugehörigen Rechenaufwand an.
Welche Vorteile gibt es gegenüber der Berechnung der Lösung des ursprünglichen Systems? |
Hallo und frohes neues Jahr!
Ich lerne gerade für meine Numerikklausur und bin auf diese Aufgabe gestoßen, die ich leider ohne Hilfe nicht lösen kann.
Also verstehe ich das richtig, dass bei der Matrix A nur Einträge in der ersten Zeile bzw. Spalte sowie in der Diagonalen sind und bei der Matrix B nur in der letzten Zeile bzw. Spalte und in der Diagonalen? Die restlichen Einträge sind also Null?!
Zu (a) kann ich sagen, dass Permutationsmatrizen nur 0- und 1-Einträge haben und in jeder Zeile bzw. Spalte nur einen 1-Eintrag.
Bei (b) weiß ich, dass L eine linke untere Dreiecksmatrix ist und R eine rechte obere.
Das mit dem Rechenaufwand habe ich irgendwie noch nie so richtig verstanden...
Ich wäre wirklich froh, wenn sich jemand Zeit nehmen könnte, mir zu helfen, dass ich diese Aufgabe verstehe.
LG Sam
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Sam90 |
Hallo? Kann mir wirklich keiner helfen? :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 09.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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