Permutation u. kgV Zyklenlänge < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mi 05.11.2008 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | | Die Ordnung einer Permutation [mm] \pi \varepsilon S_{n} [/mm] ist gleich dem kgV ihrer Zyklenlänge. |
Hey,
die Herleitung dieses Satzen macht mir Probleme. In der Vorlesung
wurde er nur mit der beliebten Formulierung "...wie Sie leicht sehen, gilt diesere Satz...; der Beweis ist trivial" abgehandelt. Habe nun versucht ihn selbst zu beweisen komme aber nicht weiter.
Hier mein Ansatz:
Jede Permutation kann man ja als Produkt von Zyklen schreiben.
Nun stellt sich die Frage nach der Ordnung der einzelnen Zyklen
=> Ord (Zyklus der Länge k) = k
Seien x,y,z Zykel einer Permutation, mit [mm] x^{k}=y^{m}=z^{i}=id=(1) [/mm]
=> [mm] \pi= [/mm] x [mm] \circ [/mm] y [mm] \circ [/mm] z
Wie kann ich nun auf die Ordnung von Pi schließen?
In meinen Algebra-Büchern (v.d.waerden u. Basch) wird der Satz ebenfalls nicht gezeigt. Sofern jemand weiß, wo man ihn im Netz findet würde das auch reichen.
Mfg
Damien
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 05.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die Ordnung einer Permutation [mm]\pi \varepsilon S_{n}[/mm] ist
> gleich dem kgV ihrer Zyklenlänge.
>
> Hey,
> die Herleitung dieses Satzen macht mir Probleme. In der
> Vorlesung
> wurde er nur mit der beliebten Formulierung "...wie Sie
> leicht sehen, gilt diesere Satz...; der Beweis ist trivial"
> abgehandelt. Habe nun versucht ihn selbst zu beweisen komme
> aber nicht weiter.
>
> Hier mein Ansatz:
> Jede Permutation kann man ja als Produkt von Zyklen
> schreiben.
Du hast das allerwichtigste vergessen: die Zyklen muessen disjunkt sein!
> Nun stellt sich die Frage nach der Ordnung der einzelnen
> Zyklen
> => Ord (Zyklus der Länge k) = k
>
> Seien x,y,z Zykel einer Permutation, mit
> [mm]x^{k}=y^{m}=z^{i}=id=(1)[/mm]
>
> => [mm]\pi=[/mm] x [mm]\circ[/mm] y [mm]\circ[/mm] z
>
> Wie kann ich nun auf die Ordnung von Pi schließen?
Zeige, dass zwei Zykel kommutieren, falls sie disjunkt sind.
Daraus folgere dann [mm] $\pi^k [/mm] = [mm] x^k \circ y^k \circ z^k$ [/mm] fuer alle $k [mm] \in \IN$, [/mm] und folgere [mm] $\pi^k [/mm] = id$ genau dann, wenn $x^ k =id$, [mm] $y^k [/mm] = id$ und [mm] $z^k [/mm] = id$.
> In meinen Algebra-Büchern (v.d.waerden u. Basch) wird der
> Satz ebenfalls nicht gezeigt. Sofern jemand weiß, wo man
> ihn im Netz findet würde das auch reichen.
Hier im Forum kam er sicher schon mehrmals; an mind. eine Diskussion kann ich mich erinnern.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mi 05.11.2008 | | Autor: | damien23 |
danke für die schnelle antwort, versuche mal es auszuformulieren und melde mich dann nochmal
mfg
damien
|
|
|
|
