Permutation, Diagonalisierbar < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Sei [mm] \phi: [/mm] V->V diagonalsierbar und [mm] B=(b_1, ..,b_n) [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren
[mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}
[/mm]
Ist [mm] \sigma \in \sigma_n [/mm] eine Permutation und bezeichne B' =( [mm] b_{\sigma(1)},..,b_{\sigma(n)}) [/mm] die mit [mm] \sigma [/mm] umgeordnete Basis, dann ist zuzeigen, dass gilt:
[mm] [\phi]_{B'B'} =\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix} [/mm]
[mm] [\phi]_{B'B'}= T_{B'B} [\phi]_{BB} T_{BB'}
[/mm]
Kann mir da wer helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Do 05.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu,
> Für jede Permutation [mm]\sigma \in \sigma_n[/mm] bezeichne
> [mm]T_{\sigma}[/mm] =( [mm]e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})[/mm] die
> entsprechende Permutationsmatrix.
> Es ist zu zeigen: [mm](T_\sigma)^{-1}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} T_\sigma =\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix}[/mm]
Nennen wir dies Aufgabe 1.
> Sei [mm]\phi:[/mm] V->V diagonalsierbar und [mm]B=(b_1, ..,b_n)[/mm] eine
> Basis aus Eigenvektoren
> [mm][\phi]_{BB}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist [mm]\sigma \in \sigma_n[/mm] eine Permutation und bezeichne B'
> =( [mm]b_{\sigma(1)},..,b_{\sigma(n)})[/mm] die mit [mm]\sigma[/mm]
> umgeordnete Basis, dann ist zuzeigen, dass gilt:
> [mm][\phi]_{B'B'} =\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix}[/mm]
Nennen wir dies Aufgabe 2.
Aufgabe 1 kannst du auf Aufgabe 2 zurückführen:
Betrachte dazu [mm] $V=K^n$, $B=(e_1,\ldots,e_n)$ [/mm] und sei [mm] $\phi\colon K^n\to K^n$ [/mm] die lineare Abbildung mit
[mm] $[\phi]_{BB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}$
[/mm]
Nutze
> [mm][\phi]_{B'B'}= T_{B'B} [\phi]_{BB} T_{BB'}[/mm]
und [mm] $T_{BB'}=T_\sigma$ [/mm] (warum?) sowie [mm] $T_{B'B}=T_\sigma^{-1}$ [/mm] (warum?).
Zu Aufgabe 2:
Aus der Darstellung von [mm] $[\phi]_{BB}$ [/mm] kannst du [mm] $\phi(b_1),\ldots,\phi(b_n)$ [/mm] ablesen.
Bestimme nun für [mm] $i=1,\ldots [/mm] n$ jeweils die i-te Spalte von [mm] $[\phi]_{B'B'}$. [/mm] Bestimme dazu [mm] $\phi(b_{\sigma(i)})$ [/mm] und stelle diesen Vektor bezüglich der Basis B' dar.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Do 05.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich glaub, das ist ein Missverständnis.
Nur die obere Aufgabenstellung 1 ist die AUfgabe das unten hat nichts mit einer neuen Angabe zu tun, das waren meine Ansätze.
> Betrachte dazu $ [mm] V=K^n [/mm] $, $ [mm] B=(e_1,\ldots,e_n) [/mm] $ und sei $ [mm] \phi\colon K^n\to K^n [/mm] $ die lineare Abbildung mit
> $ [mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} [/mm] $
> Nutze
> $ [mm] [\phi]_{B'B'}= T_{B'B} [\phi]_{BB} T_{BB'} [/mm] $
> und $ [mm] T_{BB'}=T_\sigma [/mm] $ (warum?) sowie $ [mm] T_{B'B}=T_\sigma^{-1} [/mm] $ (warum?).
$ [mm] T_{\sigma} [/mm] $ =( $ [mm] e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)}) [/mm] $
[mm] T_{\sigma} [/mm] ist doch die Matrix, deren Spalten, die Eigenbasis bildet. Hier ist die Eigenbasis die Einheitsvektoren.
[mm] T_{BB'}.. [/mm] Ist laut definition die Basiswechselmtarix von B' nach B
[mm] T_{BB'}= (b_1'| ...|b_2')=(e_{\sigma(1)}|..|e_{\sigma(n)}) [/mm] = [mm] T_\sigma
[/mm]
da B'=( $ [mm] e_{\sigma(1)},..,e_{\sigma(n)}) [/mm] $ die mit $ [mm] \sigma [/mm] $umgeordnete Basis enstpricht.
$ [mm] [\phi]_{B'B'}= T_{B'B} [\phi]_{BB} T_{BB'} $=T_{\sigma} [\phi]_{BB} (T_{\sigma})^{-1}=T_{\sigma} \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} $(T_{\sigma})^{-1}
[/mm]
Jetzt muss ich noch zeigen, dass $ [mm] [\phi]_{B'B'} =\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix} [/mm] $ ist oder?
> Bestimme dazu $ [mm] \phi(b_{\sigma(i)}) [/mm] $ und stelle diesen Vektor bezüglich der Basis B' dar.
[mm] \phi(b_{\sigma(i)}) [/mm] soll ich in B' darstellen.
Aber ich weiß nicht was [mm] \phi [/mm] mit [mm] b_{\sigma(i)} [/mm] macht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 05.04.2012 | | Autor: | davux |
Es müsste doch möglich sein, deine erste Aufgabe so zu zeigen, dass du mit den Begriffen Permutation, Transpositionen und gegebenenfalls Elementarmatrizen arbeitest. So würde ich ansetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Do 05.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Es müsste doch möglich sein, deine erste Aufgabe so zu
> zeigen, dass du mit den Begriffen Permutation,
> Transpositionen und gegebenenfalls Elementarmatrizen
> arbeitest. So würde ich ansetzen.
Sicherlich ist der "Umweg" über eine beliebige Basis $B$ anstelle der Standardbasis und den Rückgriff auf Basiswechselmatrizen nicht nötig. Ich wollte Lu zeigen, wie sie mit ihrem Ansatz zum Ziel kommen kann.
Ein Rückgriff auf Transpositionen und Elementarmatrizen ist ebenfalls nicht nötig.
Ein direkter Weg sieht so aus:
Man berechne die i-te Spalte von
[mm] $T_\sigma^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} T_\sigma$
[/mm]
mittels
[mm] $(T_\sigma^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} T_\sigma)(e_i)=T_\sigma^{-1}(\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} (T_\sigma(e_i)))$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Do 05.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich glaub, das ist ein Missverständnis.
> Nur die obere Aufgabenstellung 1 ist die AUfgabe das unten
> hat nichts mit einer neuen Angabe zu tun, das waren meine
> Ansätze.
Ah, ok.
> > Betrachte dazu [mm]V=K^n [/mm], [mm]B=(e_1,\ldots,e_n)[/mm] und sei
> [mm]\phi\colon K^n\to K^n[/mm] die lineare Abbildung mit
>
> > [mm][\phi]_{BB} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}[/mm]
>
> > Nutze
> > [mm][\phi]_{B'B'}= T_{B'B} [\phi]_{BB} T_{BB'}[/mm]
> > und [mm]T_{BB'}=T_\sigma[/mm] (warum?) sowie [mm]T_{B'B}=T_\sigma^{-1}[/mm] (warum?).
> [mm]T_{\sigma}[/mm] =( [mm]e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})[/mm]
> [mm]T_{\sigma}[/mm] ist doch die Matrix, deren Spalten, die
> Eigenbasis bildet. Hier ist die Eigenbasis die
> Einheitsvektoren.
Etwas Vorsicht mit den Formulierungen: Es gibt nicht "die" Eigenbasis, sondern verschiedene Basen aus Eigenvektoren. Es gibt außerdem verschiedene Basen aus den Einheitsvektoren (beispielsweise die Standardbasis und die Basis B').
> [mm]T_{BB'}..[/mm] Ist laut definition die Basiswechselmtarix von
> B' nach B
> [mm]T_{BB'}= (b_1'| ...|b_2')=(e_{\sigma(1)}|..|e_{\sigma(n)})[/mm]
> = [mm]T_\sigma[/mm]
> da B'=( [mm]e_{\sigma(1)},..,e_{\sigma(n)})[/mm] die mit [mm]\sigma [/mm]umgeordnete
> Basis enstpricht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $ [mm][\phi]_{B'B'}= T_{B'B} [\phi]_{BB} T_{BB'} $=T_{\sigma} [\phi]_{BB} (T_{\sigma})^{-1}=T_{\sigma} \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} $(T_{\sigma})^{-1}[/mm]
Hier hast du das $^{-1}$ an die falsche Stelle gesetzt, ansonsten stimmt es.
> Jetzt muss ich noch zeigen, dass [mm][\phi]_{B'B'} =\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix}[/mm]
> ist oder?
Genau.
> > Bestimme dazu [mm]\phi(b_{\sigma(i)})[/mm] und stelle diesen
> Vektor bezüglich der Basis B' dar.
> [mm]\phi(b_{\sigma(i)})[/mm] soll ich in B' darstellen.
> Aber ich weiß nicht was [mm]\phi[/mm] mit [mm]b_{\sigma(i)}[/mm] macht?
Doch, wenn du vorher, wie von mir im letzten Post aufgefordert, [mm] $\phi(b_1),\ldots,\phi(b_n)$ [/mm] aus
$ [mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} [/mm] $
abliest. Die Koordinaten von beispielsweise [mm] $\phi(b_1)$ [/mm] bezüglich B erhältst du aus der ersten Spalte von [mm] $[\phi]_{BB}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 05.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo.
ZZ.: $ [mm] [\phi]_{B'B'} =\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] \phi(b_1)=\phi(e_1) [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_1 \\ 0\\ \vdots\\0}
[/mm]
..
[mm] \phi(b_n) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \vdots\\0\\ \lambda_n}
[/mm]
[mm] \phi(b_1') [/mm] = [mm] \phi(e_{\sigma(1)})=\vektor{\lambda_{\sigma(1)} \\ 0\\ \vdots\\0}
[/mm]
..
[mm] \phi(b_n') [/mm] = [mm] \phi(e_{\sigma(n)})=\vektor{0 \\ \vdots\\0\\ \lambda_{\sigma(n)}}
[/mm]
Um diese in B' zu enwtickeln kann man die vektoren ablesen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 05.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ZZ.: [mm][\phi]_{B'B'} =\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix}[/mm]
Ja.
> [mm]\phi(b_1)=\phi(e_1)[/mm] = [mm]\vektor{\lambda_1 \\ 0\\ \vdots\\0}[/mm]
>
> ..
> [mm]\phi(b_n)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ \vdots\\0\\ \lambda_n}[/mm]
Genau!
> [mm]\phi(b_1')[/mm] =
> [mm]\phi(e_{\sigma(1)})=\vektor{\lambda_{\sigma(1)} \\ 0\\ \vdots\\0}[/mm]
>
> ..
> [mm]\phi(b_n')[/mm] = [mm]\phi(e_{\sigma(n)})=\vektor{0 \\ \vdots\\0\\ \lambda_{\sigma(n)}}[/mm]
Eigentlich muss beispielsweise bei [mm] $\phi(e_{\sigma(1)})$ [/mm] das [mm] $\lambda_{\sigma(1)}$ [/mm] an der [mm] $\sigma(1)$-ten [/mm] Stelle, statt an der ersten Stelle stehen.
Als Darstellung bezüglich B' erhältst du dann aber genau die von dir angegebenen Vektoren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Do 05.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke,
Ich hab dazu noch eine Aufgabe, die daran angeknüpft ist. Ich hoffe es passt wenn ich die gleich hier poste, da sie ja mit der ersten unmittelbar zutun hat.
Ich weiß, dass zwei Diagonalmatrizen, wobei eine paarweise verschiedene Diagonaleinträge hat, kommutativ sind.
[mm] T^{-1}DS [/mm] bildet eine Diagonalmatrix
also ist diese Diagonalmatrix ähnlich zu [mm] T^{-1}DS
[/mm]
[mm] T^{-1}DS [/mm] = Dagonalmatrix D, aber diese kann sich in der Reihenfolge der Diagonalelemente von D unterscheiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 06.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> D.. n [mm]\times[/mm] n Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen
> Diagonaleinträgen und T sei eine invertierbare Matrix
> sodass [mm]T^{-1}DS[/mm] eine Diagonalmatrix bildet.
> Zeige, dass dann T von der Form [mm]T=AT_\sigma,[/mm] wobei A eine
> invertierbare n [mm]\times[/mm] n Diagonalmatrix bezeichne.
Ich gehe mal davon aus, dass mit S in Wirklichkeit T gemeint war.
> Ich weiß, dass zwei Diagonalmatrizen, wobei eine paarweise
> verschiedene Diagonaleinträge hat, kommutativ sind.
Das gilt sogar auch, wenn keine der Diagonalmatrizen paarweise verschiedene Diagonaleinträge hat.
> [mm]T^{-1}DS[/mm] bildet eine Diagonalmatrix
Genau. Nennen wir sie mal $D'$
> also ist diese Diagonalmatrix ähnlich zu [mm]T^{-1}DS[/mm]
Ähnlich zu D meintest du sicherlich.
> [mm]T^{-1}DS[/mm] = Dagonalmatrix D, aber diese kann sich in der
> Reihenfolge der Diagonalelemente von D unterscheiden.
Gut erkannt! Wenn also
[mm] $D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}$
[/mm]
gilt, hat D' die Form
[mm] $D'=\begin{pmatrix} \lambda_{\sigma(1)} & & \\ & \ddots& \\ & & \lambda_{\sigma(n)} \end{pmatrix} [/mm] $
für ein [mm] $\sigma\in\sigma_n$, [/mm] also nach der ursprünglichen Aufgabe
[mm] $D'=T_\sigma^{-1}DT_\sigma$.
[/mm]
Damit haben wir unser [mm] $\sigma$ [/mm] aus der gewünschten Darstellung [mm] $T=AT_\sigma$ [/mm] bereits gefunden. Wenn ich mit dieser Aussage recht behalte, bleibt uns nichts anderes übrig, als
[mm] A:=TT_\sigma^{-1}
[/mm]
zu setzen.
Diese Matrix ist schon einmal invertierbar als Produkt invertierbarer Matrizen. Das Schwierige ist nun zu zeigen, dass es sich um eine Diagonalmatrix handelt.
Es gilt
[mm] $T^{-1}DT=D'=T_\sigma^{-1}DT_\sigma$
[/mm]
und somit (Multiplikation von links mit $T$ und von rechts mit [mm] $T_\sigma^{-1}$)
[/mm]
[mm] $DA=DTT_\sigma^{-1}=T\T_\sigma^{-1}D=AD$.
[/mm]
Sei nun [mm] $A_j$ [/mm] die j-te Spalte von $A$ [mm] ($j=1,\ldots,n$).
[/mm]
Dann gilt
[mm] $DA_j=DAe_j=ADe_j=\ldots=\lambda_jA_j$.
[/mm]
Also ist [mm] $A_j$ [/mm] im Eigenraum von $D$ zum Eigenwert [mm] $\lambda_j$.
[/mm]
Da die [mm] $\lambda_i$ [/mm] paarweise verschieden sind, ist dieser Eigenraum der Spann von [mm] $e_j$.
[/mm]
Wie sieht also [mm] $A_j$ [/mm] aus?
Wie sieht somit A aus?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo tobit und danke für die ausführliche Antwort
Hier steige ich allerdings aus:
> Dann gilt
$ [mm] DA_j=DAe_j=ADe_j=\ldots=\lambda_jA_j [/mm] $.
das [mm] =\lambda_jA_j [/mm] ist mir nicht klar.
Ich hatte aber schonmal einen Beweis in der Vorlesung zu:
Sei D [mm] \in [/mm] M_(n x n) Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen Diagonaleinträgen und A eine weitere n xn Matrix über K.
Zeige, dass AD=DA genau dann gilt, wenn A eine Diagonalmatrix ist.
Und den kann ich verwenden und wäre fertig ;D Oder bin ich da zu voreilig?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Sa 07.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hier steige ich allerdings aus:
> > Dann gilt
>
> [mm]DA_j=DAe_j=ADe_j=\ldots=\lambda_jA_j [/mm].
> das [mm]=\lambda_jA_j[/mm]
> ist mir nicht klar.
(Es gilt [mm] $ADe_j=A\lambda_je_j=\lambda_jAe_j=\lambda_jA_j$.)
[/mm]
> Ich hatte aber schonmal einen Beweis in der Vorlesung zu:
> Sei D [mm]\in[/mm] M_(n x n) Diagonalmatrix mit paarweise
> verschiedenen Diagonaleinträgen und A eine weitere n xn
> Matrix über K.
> Zeige, dass AD=DA genau dann gilt, wenn A eine
> Diagonalmatrix ist.
Das ist natürlich super! Damit bist du in der Tat an der Stelle, an der $AD=DA$ gezeigt wurde, schon fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Lu- |
ich danke dir.
lg
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