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Hallo!
Unser Prof hat die det A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] hergeleitet. Dafür hat er folgendes genutzt: [mm] S_2={id, tau} [/mm] tau(1)=2 und tau(2)=1 und dann weiter mit fehlstellungen argumentiert: f(id)=0 sgn(id)=1
f(tau)=1 sgn(tau)=-1. Mir ist das völlig unklar...vllt. kann mir jemand den Beweis und Permutationen an sich erklären?
wäre lieb danke
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Betrachte zum Beispiel die Permutation
[mm]\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 2 & 7 & 1 & 4 & 6 & 8 & 5 \end{pmatrix} \in S_8[/mm]
In der oberen Zeile stehen die Urbilder, darunter die zugehörigen Bilder (das ist also sozusagen eine Wertetabelle der Abbildung). Jetzt gehst du unten alle Paare durch, und immer wenn die linke Zahl größer als die rechte ist, liegt ein Fehlstand vor:
32 Fehlstand, 37 Normalstand, 31 Fehlstand, 34 Normalstand, 36 Normalstand, 38 Normalstand, 35 Normalstand, 27 Normalstand, 21 Fehlstand, ... , 85 Fehlstand
Wenn ich mich nicht verzählt habe, sind es insgesamt 9 Fehlstände. Da die Zahl der Fehlstände ungerade ist, ist [mm]\operatorname{sgn}(\pi) = -1[/mm].
Für die Determinante der 8-reihigen Matrix [mm]A = (a_{ij})[/mm] heißt das, daß der zugehörige Summand negatives Vorzeichen bekommt:
[mm]\det(A) = \ldots + (-1) \cdot a_{13}a_{22}a_{37}a_{41}a_{54}a_{66}a_{78}a_{85} + \ldots[/mm]
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Supi! vielen liben dank, es ist manchmal etwas schwierig sich aus den aufgeschriebenen Bruchstücken etwas zusammenzureimen 
hab dann auch gleich noch eine Frage,
es geht um die obere Dreiecksmatrix, dort haben wir aufgeschrieben, dass die ein Summand der Determinante ungleich null ist, solange [mm] i<\delta [/mm] (i) ist, wobei für die determinante gilt:
[mm] det(A)=Summe(sgn(\delta)a_1_\delta(1).....
[/mm]
Daraus soll dann folgen: aus [mm] n<=\delta(n)<=n [/mm] folgt delta(n)=n sowie aus [mm] (n-1)<=\delta(n-1)<=(n-1). [/mm] Dann gilt [mm] \delta [/mm] =id und damit hat er dann gezeigt, dass die Determinante der oberen Dreieckmatrix die Hauptdiagonale ist. Kann mir das jemand erklären?
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vielleicht mag mir jemand einfach eine andere Definition sagen, wann der Summand nicht null ist?
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Mache es dir anschaulich klar. Nehmen wir denselben Summanden wie oben, wobei jetzt zusätzlich [mm]A[/mm] eine obere Dreiecksmatrix sein soll. Dann sind ja alle Elemente [mm]a_{ij}[/mm] der Matrix, bei denen [mm]i>j[/mm] ist, gleich 0. Für den Summanden heißt das
[mm]a_{13} a_{22} a_{37} a_{41} a_{54} a_{66} a_{78} a_{85} = a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{37} \cdot 0 \cdot 0 \cdot a_{66} \cdot a_{78} \cdot 0 = 0[/mm]
Und da ein Produkt 0 wird, wenn mindestens ein Faktor 0 wird, mußt du dir nur überlegen, daß in jedem Summanden außer dem, der das Produkt der Hauptdiagonalen darstellt, so ein Faktor 0 vorkommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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