Periodizität, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei f eine periodische und stetige Funktion. Nehmen Sie an, dass f nicht konstant ist und zeigen Sie, dass f eine primitive Periode hat. |
Hallo, ich weiß nicht so wirklich, wie ich den beweis richtig entwickle und dann aufschreibe.
Also ich würde annehmen, dass f nicht konstant ist, also f(x1)=y1 ungleich f(x2)=y2
und dann komm ich auch nicht weiter.
eine primitive periode ist ja die kleinste ( f(x+p)=f(x) ).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Mi 06.01.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo Katrin,
eine Funktion heißt periodisch, wenn eine Zahl p>0 existiert,
sodass für alle x [mm] \in D_f [/mm] gilt f(x+p) = f(x). Mit p ist auch np mit [mm] n\in \IN [/mm] eine Periode.
Du sollst nun zeigen, dass es für nicht konstante Funktionen eine kleinste Periodenlänge geben muss. Sowas machst du am Besten indirekt:
Es sei [mm] x_0 \in D_f [/mm] beliebig aber fest gewählt und [mm] x_1 \in D_f [/mm] mit [mm] f(x_1) \ne f(x_0)
[/mm]
Innerhalb einer Periodenlänge muß die Funktion beide Werte [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] f(x_1) [/mm] annehmen.
Angenommen, es gäbe keine kleinste Periode, dann heißt das, dass die Funktion für alle positiven [mm] \varepsilon [/mm] im Intervall [mm] [x_0;x_0+\varepsilon] [/mm] die Werte [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] f(x_1) [/mm] annimmt.
Das heißt, dass es in [mm] D_f [/mm] zwei Folgen geben muß, die beide gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren, wobei die Funktionswerte der Glieder der ersten Folge konstant gleich [mm] f(x_0) [/mm] und die Funktionswerte der Funktionswerte der Glieder der zweiten Folge konstant gleich [mm] f(x_1) [/mm] sind.
Dies widerspricht aber der Stetigkeit von f in [mm] x_0 [/mm] !
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