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| Aufgabe | Ein Modell der ersten vier Peano-Axiome
(N1) S(x) [mm] \not= [/mm] 0
(N2) S(x) = S(y) → x = y
(A1) x + 0 = x
(A2) x + S(y) = S(x + y)
ist das Standardmodell der natürlichen Zahlen ( N; S; +N; 0) mit der üblichen Nachfolgerfunktion S, der gewöhnlichen Addition und der kleinsten natürlichen Zahl 0. Geben Sie zwei weitere Modelle an, die vom Standardmodell und voneinander wesentlich verschieden sind (d.h. nicht isomorph sind; dies müssen Sie nicht formal beweisen). |
Hallo liebe Mathefreunde,
dies ist eine Aufgabe vom Übungsblatt und ich brauche dringend Hilfe (bzw. Punkte) sonst schaffe ich meine Klausurzulassung nicht :/
Würde mich super über Hilfe freuen ;)
Theoretisch könnte man das ja einfach erweitern um z.B. nur jede zweite Zahl zu nehmen? Würde ja trotzdem die Axiome erfüllen (0, 2, 4, 6,...) Aber wahrscheinlich wäre das nicht "wesentlich verschieden" :(
Vielleicht ja hier ja noch jmd eine gute Idee um mich auf die Richtige Fährte zu locken und mir zu meiner Zulassung zu verhelfen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 26.01.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ein Modell der ersten vier Peano-Axiome
> (N1) S(x) [mm]\not=[/mm] 0
> (N2) S(x) = S(y) → x = y
> (A1) x + 0 = x
> (A2) x + S(y) = S(x + y)
> ist das Standardmodell der natürlichen Zahlen ( N; S; +N;
> 0) mit der üblichen Nachfolgerfunktion S, der
> gewöhnlichen Addition und der kleinsten natürlichen Zahl
> 0. Geben Sie zwei weitere Modelle an, die vom
> Standardmodell und voneinander wesentlich verschieden sind
> (d.h. nicht isomorph sind; dies müssen Sie nicht formal
> beweisen).
Wenn ich das so richtig verschtehe, ist [0, [mm] +$\infty$] [/mm] auch ein Modell, wenn ich S(x) := x+1 setze. Isomorph ist das natürlich nicht, weil überabzählbar.
Geht auch N x N mit S(r, s) = (r+1, s+1)? Das Ding hätte nur abzählbar viele Elemente, die keine Nachfolger sind.
Dieser Ansatz ist vorerst ohne jede Gewähr.
Gruß aus HH
Dieter
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Hallo Dieter,
zunächst mal vielen Dank für deine Antwort!! Dein erster Vorschlag ist sehr gut und müsste auch nach meiner ansicht funktionieren. Bei deinem zweiten Versuch glaube ich das es nicht funktioniert. Alleine schon da jede Zahl einen Nachfolger haben muss nach den Peano Axiomen, oder? (Punkt zwei)
- 0 ist eine natürliche Zahl.
- Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n' als Nachfolger.
- 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
- Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
- Enthält X die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n', so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Di 27.01.2015 | | Autor: | hippias |
Achtung Axiom $2$ besagt nicht, dass jedes Element einen Nachfolger haben muss, sondern, dass Elemente mit gleichem Nachfolger gleich sind.
Insofern ist statlers Vorschlag nicht abzulehnen. Man muesste die Addition der Struktur noch entsprechend definieren und ueberpruefen, ob sie die ersten $4$ Axiome erfuellt.
Definiert man $(r,s)+_{A}(r',s'):= [mm] (r+_{\IN}r',s+_{\IN}s')$ [/mm] und [mm] $0_{A}:= (0_\IN,0_{\IN})$, [/mm] so erfüllt die Struktur [mm] $A:=(\IN^{2}, S_{A}, [/mm] +_{A}, [mm] 0_{A})$ [/mm] mit [mm] $S_{A}(r,s):= (S_{\IN}(r), S_{\IN}(s))$, [/mm] so erfuellt $A$ die ersten $4$ Peano-Axiome.
Sie ist auch nicht isomorph zum Standardmodell, denn anders als in diesem haben in $A$ alle Elemente der Form $(r,0)$ und $(0,s)$ keine Vorgänger, während es im Standardmodell nur ein einziges solches Element gibt.
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hmmmm, kannst du mir da nochmal helfen, leider ist mir das nicht ganz klar. Ist das Aufstellen eines Modells ein raten und schauen ob es funktioniert oder gibt es dort ein Schema wie man vorgeht?
[0, +$ [mm] \infty [/mm] $] mit S(x) := x+1 erfüllt zwar alle Axiome, aber ist ja eigentlich nichts anderes außer die "unendlichen natürlichen Zahlen" oder?
Bin mir nun nicht mehr sicher ob das dann passen würde... :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 27.01.2015 | | Autor: | hippias |
Meiner Meinung nach trifft es raten besser. Andererseits sind Deine $4$ Axiome auch nicht besonders schwierig zu erfuellen.
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hmm, raten ist doch doof :) Habe aber noch mehrere mögliche Modelle gefunden, gar nicht so schwer wenn man erstmal verstanden hat nach was man schauen muss...
Habe nur Probleme mit dem sauberen Aufschreiben, könnte mir hier noch einmal einer ein Bsp. geben? z.B. [0, +$ [mm] \infty [/mm] $] mit S(x) := x+1 ist ja offensichtlich richtig, da es die Axiome erfüllt.
Kann ich das dann einfach so hinschreiben? Oder muss man da irgendwie noch was zeigen? Wäre super wenn mir hier einer helfen könnte :)
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Do 29.01.2015 | | Autor: | hippias |
> hmm, raten ist doch doof :)
Das schoenere Wort ist "Intuition"...
> Habe aber noch mehrere
> mögliche Modelle gefunden, gar nicht so schwer wenn man
> erstmal verstanden hat nach was man schauen muss...
> Habe nur Probleme mit dem sauberen Aufschreiben, könnte
> mir hier noch einmal einer ein Bsp. geben? z.B. [0, +[mm] \infty [/mm]]
> mit S(x) := x+1 ist ja offensichtlich richtig, da es die
> Axiome erfüllt.
> Kann ich das dann einfach so hinschreiben? Oder muss man da
> irgendwie noch was zeigen? Wäre super wenn mir hier einer
> helfen könnte :)
Zeig' mal was Du hast; dann wird Dir bestimmt jemand sagen, ob es noch etwas zu verbessern gibt.
>
> Vielen Dank
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hi, danke für die schnelle Antwort, leider geht es ja genau darum wie man es sauber aufschreibt :D Brauche nämlich möglichst viele Punkte, geht um die Zulassung :/
Muss ich da irgendwie noch zeigen wieso es ein Modell ist? Oder muss ich die einzelnen Axiome beweisen? Leider keine Ahnung wie man das nun sauber auf Papier bringt ohne was zu verschenken
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:56 Fr 30.01.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> hi, danke für die schnelle Antwort, leider geht es ja
> genau darum wie man es sauber aufschreibt :D Brauche
> nämlich möglichst viele Punkte, geht um die Zulassung :/
> Muss ich da irgendwie noch zeigen wieso es ein Modell ist?
> Oder muss ich die einzelnen Axiome beweisen? Leider keine
> Ahnung wie man das nun sauber auf Papier bringt ohne was zu
> verschenken
Also noch ein Modell:
M := N (natürliche Zahlen mit der 0)
S: M --> M, S(x) = x + 2
+ ist das 'plus', das du aus der Schule kennst.
Die Addition [mm] $\oplus$ [/mm] in diesem Modell wird durch die A1 und A2 beschrieben und trifft zu, wenn wir für [mm] $\oplus$ [/mm] das aus der Schule bekannte + nehmen:
x [mm] $\oplus$ [/mm] 0 = x, d. h. x + 0 = x
x [mm] $\oplus$ [/mm] S(y) = S(x [mm] $\oplus$ [/mm] y), d. h. x + (y + 2) = (x + y) + 2
Was dieses Modell von N wesentlich unterscheidet, ist die Tatsache, daß du 2 Elemente ohne Vorgänger hast. In diesem Modell has du 2 Zahlenfolgen, die geraden Zahlen und die ungeraden Zahlen, die zunächst nichts miteinander zu tun haben. Daß die 1 zwischen 0 und 2 liegt, geht aus diesen Axiomen nicht hervor.
Entsprechend kann man das mit S(x) = x + 3 machen, dann hat man 3 Elemente ohne Vorgänger.
Gruß aus HH
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Do 29.01.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [0, +[mm] \infty [/mm]] mit S(x) := x+1 erfüllt zwar alle Axiome, aber ist ja eigentlich nichts anderes außer die "unendlichen natürlichen Zahlen" oder?
Autsch, nein!
Damit waren die reellen, nichtnegativen Zahlen gemeint. Statler schrieb ja sogar, dass das überabzählbar sei.
Insbesondere haben in dem Modell alle Zahlen aus [0,1) keinen Vorgänger!
Gruß,
Gono
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Die Reelen Zahlen? Dann habe ich aber irgendwas wohl doch noch nicht so ganz verstanden. Dann besagt das Axiom mit dem Nachfolger also explizit nur das eine natürliche Zahl eine nat. Zahl als Nachfolger haben muss? Bei allen anderen wäre es egal? Dann könnte man ja auch ein Modell ohne natürliche Zahlen aufbauen, da dort die Axiome nicht greifen?
mit [0,1] hast du natürlich Recht, aber dies ist ja keine Vorraussetzung nach den Axiomen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Fr 30.01.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Die Reelen Zahlen? Dann habe ich aber irgendwas wohl doch
> noch nicht so ganz verstanden. Dann besagt das Axiom mit
> dem Nachfolger also explizit nur das eine natürliche Zahl
> eine nat. Zahl als Nachfolger haben muss? Bei allen anderen
> wäre es egal? Dann könnte man ja auch ein Modell ohne
> natürliche Zahlen aufbauen, da dort die Axiome nicht
> greifen?
Natürlich kann man ein Modell ohne die natürlichen Zahlen aufbauen, so wie man ein Modell einer affinen Ebene ohne Geraden im umgangssprachlichen Sinne aufbauen kann. S ist dann einfach eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung. Das Problem ist dabei, daß die zugrundeliegende Menge unendlich viele Elemente haben muß. Das geht mit Autos sicher nicht, und mit Atomen wahrscheinlich nicht.
Gruß
Dieter
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