Pascal'sche Identität - Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 14.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
| Aufgabe | von user ullim gepostet am 27.09.2009 in einem anderen Thema
Hi,
man kann den Beweis mittels Induktion über n führen. Zu beweisen ist
1. [mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0}=(n+1)^{p+1}-1 [/mm]
Für den Ausdruck
2. [mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0} [/mm]
gilt
3. [mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0}=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_n^k [/mm]
Also ist zu beweisen
4. [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_n^k=(n+1)^{p+1}-1 [/mm]
5. Den Induktionsanfang kann man leicht für n=0 prüfen.
Die Induktionsvoraussetzung lautet
6. [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_{n-1}^k=n^{p+1}-1 [/mm]
Da 7. [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}n^k=(n+1)^{p+1}-n^{p+1} [/mm] gilt und außerdem noch gilt
8. [mm] S_n^k-S_{n-1}^k=n^k [/mm]
folgt durch Addition
9. [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_n^k=(n+1)^{p+1}-1 [/mm]
mfg ullim |
Hallo liebe Community,
jetzt komme ich mit meiner ersten Frage und hoffe natürlich in anderen Beiträgen mit der Zeit auch euch eine Holfe zu sein =)
Fragen:
1. Bei Punkt (3) entsteht ja die Formel mit dem Summenzeichen. Was genau ist "k" dort? Ich kenne es ja aus dem Binomialkoeffizienten, aber was sucht es bei S(k über n)?
2. er schreibt n=0 ist einfach zu ermitteln, doch wie stelle ich das an. Für n = 0 einsetzen ist klar, aber was setze ich für p und k ein? oder soll das verallgemeinert sein... und zudem dachte ich man ermittelt immer n=1?
3. bei Punkt (6) setzt er (n-1) statt (n+1) ein. warum kann er das tun?
4. wie entsteht punkt (7) aus (6)? und woher hat er (8)
Ihr seht es sind viele Fragen. Und ich denke, die vollständige Induktion scheine ich noch nicht ganz begriffen zu haben. Ich lese immer wieder es ist so einfach, dennoch scheine ich geblendet.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Brüte nun seit 3 Tagen daran und es lichtet sich auch langsam, aber wirklich nur seeeehr langsam. Selbst Tipps würden mir schon genügen... will die Aufgabe ja nicht gelöst haben, sondern selber hinterkommen *ready for fight*
Hoffende Grüße aus der Hauptstadt!
P.S.: Bin gerade im Selbststudium, da das Mathematikstudium erst im Oktober anfängt, daher habe ich bis auf euch auch keinen Ansprechpartner, da ich nicht mehr zur Schule gehe. Bin daher ernsthaft interessiert.
P.P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> von user ullim gepostet am 27.09.2009 in einem anderen
> Thema
>
> Hi,
>
> man kann den Beweis mittels Induktion über n führen. Zu
> beweisen ist
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du fällst ein wenig mit der Tür ins Haus - rein mathematisch gesehen,
ansonsten ist alles perfekt: ein kleiner Gruß, eine Erklärung Deines Hintergrundes...
Du solltest aber den Usern erstmal verraten, was überhaupt bewiesen werden soll - unter diesen [mm] S_{n}^{p}-Dingern [/mm] kann sich sicher nicht jeder etwas vorstellen...
Ich habe natürlich gerade mal nachgeschaut, worum es eigentlich geht - und ich könnte nun diese Diskussion hier einfach an die andere anhängen.
Aber ich tue das nicht, denn diese alte Diskussion war sehr unerfreulich, aber vor allem:
> P.S.: Bin gerade im Selbststudium, da das Mathematikstudium
> erst im Oktober anfängt, daher habe ich bis auf euch auch
> keinen Ansprechpartner, da ich nicht mehr zur Schule gehe.
> Bin daher ernsthaft interessiert.
Wenn Du Dich gerade auf das Studium vorbereitest, ist es viel wichtiger, die zu beweisende Aussage erstmal klar vorzustellen und zu verstehen als irgendwelche Beweisdetails.
Ein beweis kann grundsätzlich nur gelingen, wenn man die zu beweisende Aussage richtig gut verstanden hat.
Ich rate Dir, die zu beweisende Aussage erstmal richtig aufzuschreiben, so daß jeder, der in den Thread hereinschneit, sie verstehen kann.
Als nächstes solltest Du mal die Gültigkeit der Aussage für ausgewählte n prüfen. Wenn sie etwa für n= 3, 7, 8 stimmt, hat das zwar keinerlei Beweiskraft für Allgemeingültigkeit, Du hast bei der Beschäftigung damit jedoch ein wenig Gefühl und Verständnis für die Zeichen bekommen.
Danach kann man dann an den Induktionsbeweis gehen - wobei wir gerne helfen.
Vielleicht solltest Du, wenn Du Dich mit der Aussage beschäftigt hast, einfach mal Ullims Vorlage weglegen und schauen, wie Du es selbst tun würdest.
Ist Dir das Prinzip der vollständigen Induktion eigentlich bereits aus der Schule gut vertraut?
Falls nicht, solltest Du erstmal an Beispielen üben, die ein wenig übersichtlicher sind, damit nicht durch zu viele Rechendetails abgelenkt wird vom Induktionsgeschehen.
Prinzipiell finde ich es gut, daß Du Dich ein bißchen vorbereitest, gerade wenn der Schulbesuch schon ein Weilchen zurückliegt und womöglich zwischendurch Stumpfsinniges getan wurde, muß man sich erst wieder ans Lernen und auch an die Denkweise gewöhnen.
Induktion ist gar nicht so ein schlechter Einstieg, und wenn man das Prinzip bereits geschluckt hat und beherrscht, muß man sich am Studienanfang nicht mit Grübeleien dazu quälen.
Ein anderer Tip wäre, daß Du Dich mal ein kleines bißchen mit den Axiomen der Gruppe und des Körper befaßt, und die kleinen Beweislein dazu versuchst.
Dies ist ein abstraktes Thema, welches am Anfang gerne Schwierigkeiten bereitet, und gleichzeitig ist es (in seinen Anfängen) ein sehr übersichtliches Thema, an welchem man gut die Denkweise der Mathematik lernen kann.
Und noch etwas fällt mir ein: ein bißchem Mengenlehre auf wirklich niederem Niveau kann nicht schaden.
Irgendwie scheinen nämlich Mengen und ihre Schreibweisen, Teilmengen, Vereinigungen von Mengen und Schnittmengen heute gar kein Allgemeingut mehr zu sein.
Und vergiß über allem Bemühen um gute Vorbereitung nicht, erholt in den Studienbeginn zu starten - dann übersteht man den ersten Streß besser.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Do 15.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Wow,
mit einer solch ausführlichen Antwort habe ich jetzt nicht gerechnet. Das rechne ich dem Forum hier hoch an =)
Danke Angela für deine Bemühungen =)
Ich arbeite ja derzeit mich mit dem Königsberger (Ana1) durch. Dort ist diese Aufgabe bereits nach dem ersten Kapitel aufgetreten, nachdem ich 3 kleinere Induktionen an einfacheren Formeln erfolgreich gemeistert habe. Desto mehr stecke ich jetzt hier fest.
Ja, du hast da etwas wichtiges gesagt. Ich muss die Formel erst einmal verstehen und ein wenig mit "rumspielen". Dazu muss ich sagen, dass ich das am Anfang auch tat. Ich stand nämlich ersteinmal vor einem großen FRAGEZEICHEN, als ich die Aufgabe sah. Werde mich demzufolge nocheinmal dransetzen und mich mit der Aufgabe befreunden. So schwierig kann es ja nicht sein. Auch die unterschiedlichen n werde ich einsetzen.
Ich sage mal, wir hatten in der Schule bereits fast ein halbes Semester zur Induktion. Dort hat der Lehrer (natürlich kein Schuldpeter) es sehr fragwürdig erklärt. Ich zumindest hatte damit große Probleme. Bereits ein Semester später hat uns ein neuer Lehrer das wiederholend in EINER Stunde erklärt und ich liebte die Induktion, leider nur war das eine Wiederholung und wir fokussierten uns auf andere Themen.
Nach den ersten drei selbst gemeisterten Beweise in dem Buch, dachte ich, die Induktion verstanden zu haben... aber soweit so gut. Ich werde es nochmal erneuert inhalieren ;)
Vielen Dank euch. Ich werde mich dann in den nächsten Tagen wieder melden :)
LG
Wiesel89
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Hallo Angela,
wenn ich jetzt diverse n eingesetzt habe, bleibt ja noch das p übrig. Lässt man diese Variable offen oder sollte ich dafür auch Werte einsetzen.
Ich habe jetzt:
n=1
$ [mm] (p+1)*1^p=2^{p+1}-1 [/mm] $
bei p=1
2=2
n=2
$ [mm] (p+1)*(1^p*2^p)+\bruch{(p+1)*p}{2*1}*(1^{p-1}+2^{p-1})=3^{p+1}-1 [/mm] $
bei p=2
26=26
n=3
$ [mm] (p+1)*(1^p*2^p*3^p)+\bruch{(p+1)*p}{2*1}*(1^{p-1}+2^{p-1}+3^{p-1})+\bruch{(p+1)*p*(p-1)}{3*2*1}*(1^{p-2}+2^{p-2}+3^{p-2})+\bruch{(p+1)*p*(p-1)*(p-2)}{4*3*2*1}*(1^{p-3}+2^{p-3}+3^{p-3})=4^{p+1}-1 [/mm] $
bei p=3
255=255
__________________________________________
Wenn ich p=n nutze, dann klappt das mit den Berechnungen, aber wenn ich n=1 und p=2 setze, dann sind die Ergebnisse nicht gleich.
Brauche einen kleinen Anstubser, wie ich jetzt weiter verhandeln kann.
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Hallo!
Du benutzt die Formel falsch.
Es gilt:
[mm] $S_{n}^{p} [/mm] = [mm] 1^{p} [/mm] + [mm] 2^{p} [/mm] + ... + [mm] n^{p} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}k^{p}$.
[/mm]
und die Identität lautet:
$ [mm] (p+1)S_{n}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{n}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{n}^{p-2}+.....+S_{n}^{0}=(n+1)^{p+1}-1 [/mm] $.
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Setzt du dort n = 1 ein, steht da:
$ [mm] (p+1)S_{1}^{p}+\vektor{p+1\\2}S_{1}^{p-1}+\vektor{p+1\\3}S_{1}^{p-2}+.....+S_{1}^{0}=(1+1)^{p+1}-1 [/mm] $
Die Anzahl der Summanden auf der linken Seite ist also abhängig von p, nicht von n! Auf der linken Seite der Identität stehen immer (p+1) Summanden!
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Ich empfinde die Formel noch etwas "unübersichtlich" in der jetzigen Form. Wir können sie auch folgendermaßen schreiben:
[mm] $\sum_{k=1}^{p+1}\vektor{p+1\\k}*S_{n}^{p+1-k} [/mm] = [mm] (n+1)^{p+1}-1$
[/mm]
bzw.
[mm] $\sum_{k=1}^{p+1}\left(\vektor{p+1\\k}*\sum_{j=1}^{n}j^{p+1-k}\right) [/mm] = [mm] (n+1)^{p+1}-1$.
[/mm]
Dadurch wird die Formel zwar nicht wirklich übersichtlicher, aber die Struktur ist besser erkennbar.
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Setzen wir nun zunächst n = 1 in obige Identität ein, steht da:
[mm] $\sum_{k=1}^{p+1}\left(\vektor{p+1\\k}*\sum_{j=1}^{1}j^{p+1-k}\right) [/mm] = [mm] (1+1)^{p+1}-1$
[/mm]
[mm] $\gdw \sum_{k=1}^{p+1}\vektor{p+1\\k} [/mm] = [mm] (1+1)^{p+1}-1$
[/mm]
Dies ist nach dem binomischen Lehrsatz [mm] $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{k}*b^{n-k}$, [/mm] den du für den Beweis auf jeden Fall benötigen wirst, eine wahre Aussage.
(Es liegt an dir, dich nicht von all den Variablen verwirren zu lassen 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
| Aufgabe | Setzen wir nun zunächst n = 1 in obige Identität ein, steht da:
[mm] $\sum_{k=1}^{p+1}\left(\vektor{p+1\\k}*\sum_{j=1}^{1}j^{p+1-k}\right) [/mm] = [mm] (1+1)^{p+1}-1$ [/mm]
[mm] $\gdw \sum_{k=1}^{p+1}\vektor{p+1\\k} [/mm] = [mm] (1+1)^{p+1}-1$ [/mm]
Dies ist nach dem binomischen Lehrsatz [mm] $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{k}*b^{n-k}$, [/mm] den du für den Beweis auf jeden Fall benötigen wirst, eine wahre Aussage.
(Es liegt an dir, dich nicht von all den Variablen verwirren zu lassen |
Vielen Dank für deine Mühe :) Bin jetzt schon ein ganzes Stück weiter.
Bis zu dem obigen Teil komme ich auch noch mit.
Wenn du n=1 setzt, dann verstehe ich auch die erste Zeile. Die zweite Zeile entsteht ja, da [mm] \sum_{j=1}^{1}j^{p+1-k}\right=1 [/mm] - Richtig?
Okay, ich werde mich dann mal weiterschlängeln...
Mich wundert es nur, wie ich das hätte lösen sollen, laut Königsberger, wenn ich das noch garnicht hatte :O
Im Lösungsteil dort steht nur:
"Für k = 1,2,...,n wende man auf [mm] (k+1)^{p+1} [/mm] die Binomialentwicklung an und addiere die entstehenden Identitäten.
[mm] S_{n}^{4}=\bruch{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
[/mm]
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Hallo!
> Setzen wir nun zunächst n = 1 in obige Identität ein,
> steht da:
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> [mm]\sum_{k=1}^{p+1}\left(\vektor{p+1\\k}*\sum_{j=1}^{1}j^{p+1-k}\right) = (1+1)^{p+1}-1[/mm]
>
> [mm]\gdw \sum_{k=1}^{p+1}\vektor{p+1\\k} = (1+1)^{p+1}-1[/mm]
>
> Dies ist nach dem binomischen Lehrsatz
> [mm](a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{k}*b^{n-k}[/mm], den du
> für den Beweis auf jeden Fall benötigen wirst, eine wahre
> Aussage.
> (Es liegt an dir, dich nicht von all den Variablen
> verwirren zu lassen
> Vielen Dank für deine Mühe :) Bin jetzt schon ein ganzes
> Stück weiter.
>
> Bis zu dem obigen Teil komme ich auch noch mit.
>
> Wenn du n=1 setzt, dann verstehe ich auch die erste Zeile.
> Die zweite Zeile entsteht ja, da
> [mm]\sum_{j=1}^{1}j^{p+1-k}\right=1[/mm] - Richtig?
Es ist alles richtig.
> Mich wundert es nur, wie ich das hätte lösen sollen, laut
> Königsberger, wenn ich das noch garnicht hatte :O
>
> Im Lösungsteil dort steht nur:
>
> "Für k = 1,2,...,n wende man auf [mm](k+1)^{p+1}[/mm] die
> Binomialentwicklung an und addiere die entstehenden
> Identitäten.
>
> [mm]S_{n}^{4}=\bruch{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/mm]
Ich kann ehrlich gesagt mit dem Hinweis auch nichts anfangen (zumindest sehe ich nicht, was das mit dem Beweis zu tun hat). Anscheinend schlägt er aber einen Beweis ohne Induktion vor...
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
> Hallo!
> > Mich wundert es nur, wie ich das hätte lösen sollen, laut
> > Königsberger, wenn ich das noch garnicht hatte :O
> >
> > Im Lösungsteil dort steht nur:
> >
> > "Für k = 1,2,...,n wende man auf [mm](k+1)^{p+1}[/mm] die
> > Binomialentwicklung an und addiere die entstehenden
> > Identitäten.
> >
> > [mm]S_{n}^{4}=\bruch{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)[/mm]
>
> Ich kann ehrlich gesagt mit dem Hinweis auch nichts
> anfangen (zumindest sehe ich nicht, was das mit dem Beweis
> zu tun hat). Anscheinend schlägt er aber einen Beweis ohne
> Induktion vor...
Der letzte Teil der Aufgabe ist es, das Ergebnis für [mm] S_{n}^{4} [/mm] zu ermitteln, das andere wo er sich darauf bezogen hat, war:
[mm] (1+x)^n= [/mm] 1+ [mm] \vektor{n \\ 1}x+\vektor{n \\ 2}x^2+...+\vektor{n \\ n-1}x*{n-1}+x^n
[/mm]
Beweis hierfür:
Es gibt [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] Möglichkeiten, k Klammern aus den n Klammern (1+x) der linken Seite auszuwählen und daraus dann x als Faktor zu nehmen. Beim Ausmultiplizieren des links stehenden Produktes entsteht also nach Satz 2 [mm] \vektor{n\\ k}-mal [/mm] die Potenz [mm] x^k
[/mm]
Darauf scheint er sich zu beziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Liebe Community,
ich stehe fast vor dem Durchbruch. Es fehlt nur noch ein Funken bis zur vollkommenen Erleuchtung :D
Ich habe mir noch mal den obigen Beweis von ullim angesehen und mittlerweile, durch eure Beiträge, 80% verstanden =)
Dennoch bin ich auf einen (anscheinenden?) Widerspruch gestoßen
1. steppenhahn behauptete auf der linken Seite (p+1)-Summanden zu sehen. ullim geht nur von p-Summanden aus?
Desweiteren ist ja der Sinn der vollständigen Induktion von einem Anfangs-n auf ALLE natürlichen n zu schließen, das heißt (n+1).
2. ullim benutzt aber (n-1) und beweist dann mit n. Kann man einfach so eins zurücksetzen?
und last, but not least:
3. ich habe das Gefühl von Schritt (4) bis Schritt (9) läuft er im Kreis. Von 4 kommt er zum Ergebnis (7) und landet wieder bei (9), was gleich (4) ist, warum?
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Hallo!
> Dennoch bin ich auf einen (anscheinenden?) Widerspruch
> gestoßen
>
> 1. steppenhahn behauptete auf der linken Seite
> (p+1)-Summanden zu sehen. ullim geht nur von p-Summanden
> aus?
Wo geht ullim von p Summanden aus?
Wenn eine Summe von 0 bis p geht, sind das (p+1) Summanden.
> Desweiteren ist ja der Sinn der vollständigen Induktion
> von einem Anfangs-n auf ALLE natürlichen n zu schließen,
> das heißt (n+1).
>
> 2. ullim benutzt aber (n-1) und beweist dann mit n. Kann
> man einfach so eins zurücksetzen?
Natürlich.
Wenn du Lust hast, kannst du einfach jedes n-1 in ullims Beweis durch n ersetzen, und du wirst sehen, dass sich nichts ändert.
Bei der Induktion musst du zeigen:
- Die Aussage gilt für n = 1 (oder n = 0).
- Wenn die Aussage für den Vorgänger einer natürlich Zahl gilt (z.B. für "n-1", oder "n"), dann gilt sie auch für die natürliche Zahl selbst.
Allerdings empfiehlt es sich, entweder den Schritt von n auf (n+1) oder von (n-1) auf n zu machen.
> und last, but not least:
>
> 3. ich habe das Gefühl von Schritt (4) bis Schritt (9)
> läuft er im Kreis. Von 4 kommt er zum Ergebnis (7) und
> landet wieder bei (9), was gleich (4) ist, warum?
??
Was meinst du damit? In (4) sagt er, was er beweisen will.
In Schritt (5) bis (9) beweist er es dann.
Wo läuft er im Kreis?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
> > 1. steppenhahn behauptete auf der linken Seite
> > (p+1)-Summanden zu sehen. ullim geht nur von p-Summanden
> > aus?
>
> Wo geht ullim von p Summanden aus?
> Wenn eine Summe von 0 bis p geht, sind das (p+1)
> Summanden.
Auf deinem Sigma steht p+1, auf seinem nur p
> > Desweiteren ist ja der Sinn der vollständigen Induktion
> > von einem Anfangs-n auf ALLE natürlichen n zu schließen,
> > das heißt (n+1).
> >
> > 2. ullim benutzt aber (n-1) und beweist dann mit n. Kann
> > man einfach so eins zurücksetzen?
>
> Natürlich.
> Wenn du Lust hast, kannst du einfach jedes n-1 in ullims
> Beweis durch n ersetzen, und du wirst sehen, dass sich
> nichts ändert.
> Bei der Induktion musst du zeigen:
> - Die Aussage gilt für n = 1 (oder n = 0).
> - Wenn die Aussage für den Vorgänger einer natürlich
> Zahl gilt (z.B. für "n-1", oder "n"), dann gilt sie auch
> für die natürliche Zahl selbst.
>
> Allerdings empfiehlt es sich, entweder den Schritt von n
> auf (n+1) oder von (n-1) auf n zu machen.
>
Hmm, okay, ich dachte, dass geht nur von n [mm] \to [/mm] (n+1)
> > und last, but not least:
> >
> > 3. ich habe das Gefühl von Schritt (4) bis Schritt (9)
> > läuft er im Kreis. Von 4 kommt er zum Ergebnis (7) und
> > landet wieder bei (9), was gleich (4) ist, warum?
>
> ??
> Was meinst du damit? In (4) sagt er, was er beweisen
> will.
> In Schritt (5) bis (9) beweist er es dann.
> Wo läuft er im Kreis?
Naja, ich versteh nicht, wieso er das macht? Finde da keinen Sinn drin :S Warum gilt 7.?
Er geht ja einfach von (6) los... mit der Regel von (8) kommt er auf (7) und von dort mit (8) wieder auf (9)...
>
> Grüße,
> Stefan
Grüße
Benjamin
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Hallo,
> > > 1. steppenhahn behauptete auf der linken Seite
> > > (p+1)-Summanden zu sehen. ullim geht nur von p-Summanden
> > > aus?
> >
> > Wo geht ullim von p Summanden aus?
> > Wenn eine Summe von 0 bis p geht, sind das (p+1)
> > Summanden.
>
>
> Auf deinem Sigma steht p+1, auf seinem nur p
Meine Summe geht aber auch erst bei 1 los, nicht bei 0.
> > > und last, but not least:
> > >
> > > 3. ich habe das Gefühl von Schritt (4) bis Schritt (9)
> > > läuft er im Kreis. Von 4 kommt er zum Ergebnis (7) und
> > > landet wieder bei (9), was gleich (4) ist, warum?
> >
> > ??
> > Was meinst du damit? In (4) sagt er, was er beweisen
> > will.
> > In Schritt (5) bis (9) beweist er es dann.
> > Wo läuft er im Kreis?
>
> Naja, ich versteh nicht, wieso er das macht? Finde da
> keinen Sinn drin :S Warum gilt 7.?
>
> Er geht ja einfach von (6) los... mit der Regel von (8)
> kommt er auf (7) und von dort mit (8) wieder auf (9)...
Nein, so ist es nicht. Der Beweis wird schon in der Reihenfolge durchgeführt, wie er dasteht.
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Nach Induktionsvoraussetzung gilt 6., also
$ [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}S_{n-1}^k=n^{p+1}-1 [/mm] $.
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Die Formel 7. wird nun separat hergeleitet:
$ [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}n^k=(n+1)^{p+1}-n^{p+1} [/mm] $
wird extra bewiesen. Es gilt nach dem binomischen Lehrsatz:
[mm] $(n+1)^{p+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p+1 \\ k}n^{k}*1^{(p+1)-k}$
[/mm]
$= [mm] \summe_{k=0}^{p+1}\vektor{p+1 \\ k}n^{k}$.
[/mm]
Nun ziehen wir den Summanden für (p+1) aus der Summe raus:
$= [mm] n^{p+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}n^{k}$,
[/mm]
Insgesamt:
[mm] $\gdw (n+1)^{p+1} [/mm] - [mm] n^{p+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}n^{k}$.
[/mm]
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Jetzt wird in 8. festgestellt, dass [mm] $S_{n}^{k} [/mm] - [mm] S_{n-1}^{k} [/mm] = [mm] n^{k}$ [/mm] ist.
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8. kann nun in 7. eingesetzt werden:
[mm] $(n+1)^{p+1} [/mm] - [mm] n^{p+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*(S_{n}^{k}-S_{n-1}^{k})$,
[/mm]
also
[mm] $(n+1)^{p+1} [/mm] - [mm] n^{p+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}-\summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n-1}^{k}$.
[/mm]
Das sei jetzt mal "8 1/2."
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Nun können wir die Induktionsvoraussetzung 6. und "8 1/2." aufeinanderaddieren und erhalten:
[mm] $(n+1)^{p+1} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}-\summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}$.
[/mm]
Genau das war zu zeigen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
> > Auf deinem Sigma steht p+1, auf seinem nur p
>
> Meine Summe geht aber auch erst bei 1 los, nicht bei 0.
Das ist das letzte, was noch hängt bei mir. Wo geht deine mit 1 los?
> Nun können wir die Induktionsvoraussetzung 6. und "8 1/2."
> aufeinanderaddieren und erhalten:
>
> [mm](n+1)^{p+1} - 1 = \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}-\summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}[/mm].
>
> Genau das war zu zeigen.
Da steckt aber zu später Stund noch ein kleiner Fehler drin, ay?
Wohl eher so:
[mm] (n+1)^{p+1} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}
[/mm]
SUMMA SUMMARUM, aber vielen vielen Dank euch, für all eure Mühe und Geduld mit mir... jetzt geht es mit den Aufgaben weiter, nachdem ich mir die Lösung hier nocheinmal komplett verinnerlicht habe.
Finde es echt krass, dass Königsberger mit solchen Aufgaben BEGINNT :S
Liebe Grüße und eine Gute Nacht
Wiesel
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Hallo!
> > > Auf deinem Sigma steht p+1, auf seinem nur p
> >
> > Meine Summe geht aber auch erst bei 1 los, nicht bei 0.
>
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> Das ist das letzte, was noch hängt bei mir. Wo geht deine
> mit 1 los?
Meine Summe [mm] $\sum_{k=1}^{p+1}\vektor{p+1\\k}*S_{n}^{(p+1)-k}$ [/mm] zählt die Summe in der Reihenfolge:
[mm] $(p+1)*S_{n}^{p} [/mm] + [mm] \vektor{p+1\\2}*S_{n}^{p-1} [/mm] + ... + [mm] \vektor{p+1\\p}*S_{n}^{1} [/mm] + [mm] \vektor{p+1\\p+1}*S_{n}^{0}$
[/mm]
ullim macht es (zugegebenermaßen schöner) so: Er zählt von rechts nach links, und nutzt die Identität [mm] $\vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \vektor{n\\n-k}$:
[/mm]
[mm] $(p+1)*S_{n}^{p} [/mm] + [mm] \vektor{p+1\\2}*S_{n}^{p-1} [/mm] + ... + [mm] \vektor{p+1\\p}*S_{n}^{1} [/mm] + [mm] \vektor{p+1\\p+1}*S_{n}^{0}$
[/mm]
$ = [mm] \vektor{p+1\\p}*S_{n}^{p} [/mm] + [mm] \vektor{p+1\\p-1}*S_{n}^{p-1} [/mm] + ... + [mm] \vektor{p+1\\1}*S_{n}^{1} [/mm] + [mm] \vektor{p+1\\0}*S_{n}^{0}$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=0}^{p}\vektor{p+1\\k}*S_{n}^{k}$.
[/mm]
> > Nun können wir die Induktionsvoraussetzung 6. und "8 1/2."
> > aufeinanderaddieren und erhalten:
> >
> > [mm](n+1)^{p+1} - 1 = \summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}-\summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}[/mm].
>
> >
> > Genau das war zu zeigen.
>
> Da steckt aber zu später Stund noch ein kleiner Fehler
> drin, ay?
>
> Wohl eher so:
>
> [mm](n+1)^{p+1}[/mm] - 1 = [mm]\summe_{k=0}^{p}\vektor{p+1 \\ k}*S_{n}^{k}[/mm]
Da hast du wohl recht... 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 So 18.04.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Vieeeelen Dank !
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