Partielle Integration/Substitu < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale:
a) [mm] \integral_{}^{}{cos(x)sin(2x) dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1-x+x^2} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich verzweifle gerade leicht an den beiden Integralen.
also zu a): Hier hab ich das ganze mit partieller Integration versucht und komme auf folgendes:
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)sin(2x) dx} [/mm]
= cos(x)*-1/2cos(2x)- [mm] \integral_{}^{}{-sin(x)* -1/2cos(2x) dx} [/mm]
=cos(x)*-1/2cos(2x)-(-sin(x)*-1/4 [mm] sin(2x)-\integral_{}^{} [/mm] {-cos(x)*-1/4sin(2x) dx}
= -1/2cos(x)cos(2x)-1/4 [mm] sin(x)sin(2x)-1/4*\integral_{}^{}{cos(x)sin(2x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (nachdem ich [mm] -1/4*\integral_{}^{}{cos(x)sin(2x) dx} [/mm] auf die andere Seite gebracht habe) :
[mm] 5/4*\integral_{}^{}{cos(x)sin(2x) dx} [/mm] = -1/2cos(x)cos(2x)-1/4 sin(x)sin(2x)
[mm] \Rightarrow [/mm] :
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)sin(2x) dx} [/mm] = -2/5cos(x)cos(2x)-1/5 sin(x)sin(2x)
Laut Taschenrechner soll hier allerdings [mm] \bruch{-cos(x)*(cos(2x)+1)}{3} [/mm] rauskommen.
Entweder ich hab mich irgendwo verrechnet oder meine Lösung stimmt und kann durch Umformen auf die Taschenrechnerlösung gebracht werden oder mein Rechenweg ist völlig falsch.
zu b) Hier hab ich die Idee den Radikanden als Summe von Quadraten zu schreiben, dann kann man vielleicht eine Substitution machen, und danach koennte man partielle Integration anwenden. Aber auch hier komm ich nicht wirklich auf den richtigen Einstieg.
Hättet ihr vielleicht ein paar Tipps für mich?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße Lati
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Hallo Lati!
So ganz konnte ich Deinem Rechenweg nicht folgen. Aber ersetze hier:
[mm] $$\sin(2*x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$$
[/mm]
Anschließend kann man das Integral mit der Substitution $u \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] lösen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Roadrunner,
danke erstmal für deine Antwort!
Ok das ist schonmal ziemlich gut, aber hab ich die Substitutionsregel schon in der Vorlesung nicht verstanden und jetzt grad nochmal nachgelesen und versteh das einfach nicht. Und soll ich jetzt cos(x) oder [mm] (cos(x)^2 [/mm] substituieren?
Ich hab echt keinen blassen Schimmer. Ich wär Dir sehr dankbar wenn du mir vielleicht wenigstens den Anfang mal vorrechnen könntest damit ich mal ne grobe Ahnung hab wie das geht. Meinst du das geht?
Vielen vielen Dank!
Gruß Lati
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Hallo Lati,
> Hi Roadrunner,
>
> danke erstmal für deine Antwort!
> Ok das ist schonmal ziemlich gut, aber hab ich die
> Substitutionsregel schon in der Vorlesung nicht verstanden
> und jetzt grad nochmal nachgelesen und versteh das einfach
> nicht. Und soll ich jetzt cos(x) oder [mm](cos(x)^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> substituieren?
Nur $u:=\cos(x)$!
> Ich hab echt keinen blassen Schimmer. Ich wär Dir sehr
> dankbar wenn du mir vielleicht wenigstens den Anfang mal
> vorrechnen könntest damit ich mal ne grobe Ahnung hab wie
> das geht. Meinst du das geht?
Ich mache mal den Anfang, dann siehst du, wie das fluppt ...
Zuerst Roadrummers Umformung $\blue{\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)}$
Damit ist $\int{\cos(x)\blue{\sin(2x)} \ dx}=\int{\cos(x)\blue{2\cos(x)\sin(x)} \ dx}=2\int{\cos^2(x)\sin(x) \ dx}$
Nun die vorgeschlagene Substitution $\red{u:=u(x)=\cos(x)}$, also $\red{\cos^2(x)=u^2}$
Damit ist $u'(x)=\frac{du}{dx}=-\sin(x)$, also $\green{dx=-\frac{du}{\sin(x)}}$
Das nun alles ersetzen:
$2\int{\red{\cos^2(x)}\sin(x) \ \green{dx}}=2\int{\red{u^2}\sin(x)\cdot{} \ \green{\left(-\frac{du}{\sin(x)}\right)}=-2\int{u^2 \ du}$
Den Rest machst du aber ..., am Ende aber das Resubstituieren nicht vergessen 
>
> Vielen vielen Dank!
>
> Gruß Lati
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
vielen, vielen Dank für deine Hilfe, jetzt weiß ich endlich mal was ich machen muss.
Hab jetzt für das Integral -2/3 [mm] (cos(x))^3 [/mm] raus und das ist das gleiche wie der Taschenrechner es ausgibt.
Danke!
Grüße Lati
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Hallo Lati,
> Berechne folgende Integrale:
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> a) [mm]\integral_{}^{}{cos(x)sin(2x) dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1-x+x^2} dx}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> zu b) Hier hab ich die Idee den Radikanden als Summe von
> Quadraten zu schreiben, dann kann man vielleicht ceine
> Substitution machen, und danach koennte man partielle
> Integration anwenden. Aber auch hier komm ich nicht
> wirklich auf den richtigen Einstieg.
Dann Poste doch bitte mal Deine bisherigen Rechenschritte.
Die Idee, den Radikanden als Summe von Quadraten zu schreiben, ist gut.
Die Wahl der Substitution richtet sich dann nach dem Aussehen des Radikanden.
>
> Hättet ihr vielleicht ein paar Tipps für mich?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Grüße Lati
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi MathePower,
danke für deine Antwort. Mein Problem ist allerdings, dass ich gar keinen Rechenweg habe weil mir schon der Ansatz fehlt, wie ich auf die Darstellung von der Summe als Summe von Quadraten kommen soll. Ich hab mir nur überlegt, dass das wohl eine Möglichkeit wäre. Könntest du mir da vielleicht einfach den Ansatz sagen weil ich denk da jetzt schon seit Stunden drüber nach und komm einfach auf nix.
Vielen Dank...
Grüße Lati
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Hallo Lati,
> Hi MathePower,
>
> danke für deine Antwort. Mein Problem ist allerdings, dass
> ich gar keinen Rechenweg habe weil mir schon der Ansatz
> fehlt, wie ich auf die Darstellung von der Summe als Summe
> von Quadraten kommen soll. Ich hab mir nur überlegt, dass
> das wohl eine Möglichkeit wäre. Könntest du mir da
> vielleicht einfach den Ansatz sagen weil ich denk da jetzt
> schon seit Stunden drüber nach und komm einfach auf nix.
Schau doch mal hier: Quadratische Ergänzung
>
> Vielen Dank...
>
> Grüße Lati
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
und nochmal danke für deine Geduld, aber irgendwie bin ich grad echt zu doof.
Also ich hab jetzt [mm] \wurzel{x^2-x+1} [/mm] in [mm] \wurzel{(x-1/2)^2 + (\wurzel{3}/2)^2} [/mm] umgewandelt. Aber jetzt weiß ich schon wieder nicht mehr weiter.
Jetzt kommt doch dann eigentlich die Substitution oder?
Danke!
Gruß Lati
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Hallo Lati,
> Hi,
>
> und nochmal danke für deine Geduld, aber irgendwie bin ich
> grad echt zu doof.
>
> Also ich hab jetzt [mm]\wurzel{x^2-x+1}[/mm] in [mm]\wurzel{(x-1/2)^2 + (\wurzel{3}/2)^2}[/mm]
> umgewandelt. Aber jetzt weiß ich schon wieder nicht mehr
> weiter.
> Jetzt kommt doch dann eigentlich die Substitution oder?
Ja.
Wähle hier die Substitution
[mm]x-1=\bruch{\wurzel{3}}{2}*\sinh\left(t\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow dx = \bruch{\wurzel{3}}{2}*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm]
Setze dies jetzt in das Integral ein.
>
> Danke!
>
> Gruß Lati
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
ich hab das jetzt mal soweit versucht. Allerdings unter der Annahme, dass du gemeint hast, dass ich [mm] (x-\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] * sinh(t) substituieren soll.War das falsch?
Ok also jetzt mal der Weg:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x^2 -x+1} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(x-\bruch{1}{2})^2 +(\bruch{\wurzel{3}}{2})^2 } dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(\bruch{\wurzel{3}}{2}*sinh(t))^2 +(\bruch{\wurzel{3}}{2})^2 } * \bruch{\wurzel{3}}{2}* cosh(t) dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{4} \integral_{}^{}{\wurzel{(sinh(t))^2 +1} * cosh(t) dt}
[/mm]
Wie komm ich jetzt hier weiter?
Danke für deine Hilfe!
Grüße
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Hallo Lati,
> Hi,
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> ich hab das jetzt mal soweit versucht. Allerdings unter der
> Annahme, dass du gemeint hast, dass ich [mm](x-\bruch{1}{2})[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] * sinh(t) substituieren soll.War das
> falsch?
> Ok also jetzt mal der Weg:
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{x^2 -x+1} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{(x-\bruch{1}{2})^2 +(\bruch{\wurzel{3}}{2})^2 } dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{(\bruch{\wurzel{3}}{2}*sinh(t))^2 +(\bruch{\wurzel{3}}{2})^2 } * \bruch{\wurzel{3}}{2}* cosh(t) dt}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3}{4} \integral_{}^{}{\wurzel{(sinh(t))^2 +1} * cosh(t) dt}[/mm]
>
> Wie komm ich jetzt hier weiter?
Es gilt
[mm]\sinh^{2}\left(t\right)+1=\cosh^{2}\left(t\right)[/mm]
>
> Danke für deine Hilfe!
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
danke für deine Mühe!
Ich komme dann als Ergebnis auf [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * ( [mm] \bruch{e^{2x}}{8}-\bruch{e^{-2x}}{8}+\bruch{x}{2}) [/mm]
Aber wie mach ich denn jetzt die Rücksubstitution, die muss ich doch noch machen oder?
Wenn du keine Lust mehr hast kann ich dich gut verstehn...
Lati
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Hallo Lati,
> Hi,
>
> danke für deine Mühe!
> u
> Ich komme dann als Ergebnis auf [mm]\bruch{3}{4}[/mm] * (
> [mm]\bruch{e^{2x}}{8}-\bruch{e^{-2x}}{8}+\bruch{x}{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es gilt
[mm]\sinh\left(u\right)=\bruch{e^{u}-e^{-u}}{2}[/mm]
[mm]\cosh\left(u\right)=\bruch{e^{u}+e^{-u}}{2}[/mm]
>
> Aber wie mach ich denn jetzt die Rücksubstitution, die muss
> ich doch noch machen oder?
Ja, sicher.
>
> Wenn du keine Lust mehr hast kann ich dich gut verstehn...
>
> Lati
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
> Hallo Lati,
>
>
> > Hi,
> >
> > danke für deine Mühe!
> > u
> > Ich komme dann als Ergebnis auf [mm]\bruch{3}{4}[/mm] * (
> > [mm]\bruch{e^{2x}}{8}-\bruch{e^{-2x}}{8}+\bruch{x}{2})[/mm]
>
>
>
>
> Es gilt
>
> [mm]\sinh\left(u\right)=\bruch{e^{u}-e^{-u}}{2}[/mm]
>
> [mm]\cosh\left(u\right)=\bruch{e^{u}+e^{-u}}{2}[/mm]
>
Aber was bringt mir das?
Und wo muss ich jetzt die Rücksubstitution machen?
> >
> > Aber wie mach ich denn jetzt die Rücksubstitution, die muss
> > ich doch noch machen oder?
>
>
> Ja, sicher.
>
>
> >
> > Wenn du keine Lust mehr hast kann ich dich gut verstehn...
> >
> > Lati
>
>
> Gruß
> MathePower
Grüße
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Hallo Lati,
> Hi,
>
> > Hallo Lati,
> >
> >
> > > Hi,
> > >
> > > danke für deine Mühe!
> > > u
> > > Ich komme dann als Ergebnis auf [mm]\bruch{3}{4}[/mm] * (
> > > [mm]\bruch{e^{2x}}{8}-\bruch{e^{-2x}}{8}+\bruch{x}{2})[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > Es gilt
> >
> > [mm]\sinh\left(u\right)=\bruch{e^{u}-e^{-u}}{2}[/mm]
> >
> > [mm]\cosh\left(u\right)=\bruch{e^{u}+e^{-u}}{2}[/mm]
> >
> Aber was bringt mir das?
Du hast in der Stammfunktion stehen
[mm]\bruch{e^{2x}}{8}-\bruch{e^{-2x}}{8}[/mm]
Und das kannst Du gemäß den genannten Definionen ersetzen.
Dann brauchst Du gegebenfalls noch:
[mm]\sinh\left(2u\right)=2*\sinh\left(u\right)*\cosh\left(u\right)[/mm]
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Hyperbelfunktionen - Additionstheoreme
> Und wo muss ich jetzt die Rücksubstitution machen?
>
> > >
> > > Aber wie mach ich denn jetzt die Rücksubstitution, die muss
> > > ich doch noch machen oder?
> >
> >
> > Ja, sicher.
> >
> >
> > >
> > > Wenn du keine Lust mehr hast kann ich dich gut verstehn...
> > >
> > > Lati
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
Ok jetzt hab ichs. Voll toll von Dir dass du Dir soviel Zeit genommen hast!!!
Danke!!
Lati
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