Partielle Integration Beispiel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Unbestimmtes Integral: x* lnx mit Hilfe der partiellen Integration lösen
f(x)= ln
g´(x)= x
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Ich versuche als Vorbereitung auf eine Wirtschaftswissenschaftliches Studium mir wieder die Oberstufenmathematik anzueignen, da es bei mir schon einige Jahre her ist.
Bei der oben genannten Aufgabe habe ich das Problem das mein Mathebuch, mir nur die Lösung sagt nicht den Weg, da es aber für mich eine Paradaaufgabe darstellt komm ich nicht ganz zur Lösung:
Die Lösung ist:
x²/2 * lnx - x²/4
Bis auf das -x² durch 4 kann ich alles selber herleiten nur dieser Part ist mir ein Rätsel für Hilfe wäre ich echt dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun ja ich versteh nur nicht wieso bei deiner Lösung das 1/2 vor das Integral kommt und wie die bei mir im Buch aus dem hinteren Integral
( x²/2 * 1/x) --> -x²/4 machen, das am Ende noch eine Konstante bleibt ist klar da es ein unbestimmtes Integral ist aber wie kommen die auf x²/4.
Bzw. wie leite ich das hintere Integral denn überhaupt her, müsste ich theoretisch nicht wieder partiell integrieren da es ja auch ein Produkt darstellt, wie das eigentliche Integral auch schon.
Vielen Dank im Vorraus.
Gruß
Dennis
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Walde |
hi ruhrpotter,
> Nun ja ich versteh nur nicht wieso bei deiner Lösung das
> 1/2 vor das Integral kommt
Da 1/2 nur ein Faktor ist, der nicht von x abhängt, darf man ihn einfach vor das Integral ziehen.
>und wie die bei mir im Buch aus
> dem hinteren Integral
> ( x²/2 * 1/x) --> -x²/4 machen, das am Ende noch eine
da aus
[mm] \bruch{x^2}{2}*\bruch{1}{x} [/mm] durch kürzen einfach
[mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] entsteht, hat man dann
[mm] \integral^{}_{}{\bruch{x^2}{2}*\bruch{1}{x}dx}=\bruch{1}{2}\integral^{}_{}{xdx}
[/mm]
Die Stamfkt. von x ist [mm] \bruch{1}{2}x^2, [/mm] also hat man
[mm] \bruch{1}{2}\integral^{}_{}{xdx}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}x^2,
[/mm]
das sich dann zu deinem Ergebnis zusammenfassen lässt. Das Minus bei dir kommt von dem Minus aus der Formel der partiellen Integration.
> Konstante bleibt ist klar da es ein unbestimmtes Integral
> ist aber wie kommen die auf x²/4.
>
> Bzw. wie leite ich das hintere Integral denn überhaupt her,
> müsste ich theoretisch nicht wieder partiell integrieren da
> es ja auch ein Produkt darstellt, wie das eigentliche
> Integral auch schon.
Nein, da sich der Integrand durch kürzen vereinfachen lässt.Siehe oben.
>
> Vielen Dank im Vorraus.
>
> Gruß
>
> Dennis
Alles klar? 
L G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 12.04.2006 | | Autor: | ruhrpotter |
Axo, ja vielen Dank mir war nur nicht bekannt das man das noch kürzen kann.
Jetzt kann ich endlich weiterpauken
Gruß
Dennis
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Hab versucht das Schema von euch anhand einer 2. Beispielaufgabe zu festigen bin allerdings gescheitert.
Wenn ich das zweite Integral berechne muss ich ja aufleiten, aber dann leite ich ja f´auf und somit habe ich wieder f(x), ist das so korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dennis!
> aber dann leite ich ja f´auf und somit habe ich wieder f(x)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Siehe Dir mal die Formel für die partielle Integration an: Du musst beim zweiten Integral das Produkt $f'*g_$ integrieren, und das ist eindeutig nicht $f_$ !
"Trick" bei der partiellen Integration ist ja, in diesem zweiten Integral ein einfach(er)es bzw. bekanntes Integral herbeizuführen.
In unserem Beispiel kannst Du ja zusammenfassen und kürzen und erhältst damit ein Grundintegral mit [mm] $\bruch{1}{2}*\integral{x \ dx}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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