Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 26.12.2013 | | Autor: | DRose |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x) dx} [/mm] x*ln(x+2) dx |
Bisherige Rechnungen:
f= ln(x+2)
f'= 1/(x+2)
g= 1/2 [mm] x^2
[/mm]
g'= x
1/2 [mm] x^2*ln(x+2)- \integral_{-1}^{1}1/2 x^2*1/(x+2)
[/mm]
= 1/2 ln (3) - ....
das andere Integral fällt weg da es dann ln 1 = 0 gibt. Ich habe aber irre Mühe hinten die Lösung zu finden. Habe gar in meinem Lehrbuch die Lösung, verstehe aber nicht wie man darauf kommt. Es sollte 1/2 ln (3) - 1/2 [mm] \integral_{-1}^{1} (x-2+\bruch{4}{x+2}) [/mm] geben, und schliesslich 2-3/2 ln 3
Verstehe echt nicht wie man das Integral hinten bekommt, hoffe ihr könnt mir helfen!
Mfg D Rose
|
|
| |
|
Hallo Rose
> Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> a) [mm]\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}[/mm] x*ln(x+2) dx ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was soll denn das bedeuten ?
"Doppelt genäht hält besser" gilt in diesem Fall und
so, wie du es offenbar verstanden hast, sicher nicht !
Gemeint ist wohl:
[mm]\integral_{-1}^{1}\ x*ln(x+2)\ dx[/mm]
> Bisherige Rechnungen:
> f= ln(x+2)
> f'= 1/(x+2)
> g= 1/2 [mm]x^2[/mm]
> g'= x
>
> 1/2 [mm]x^2*ln(x+2)- \integral_{-1}^{1}1/2 x^2*1/(x+2)[/mm]
> = 1/2
> ln (3) - ....
> das andere Integral fällt weg da es dann ln 1 = 0 gibt.
Naja, das Einsetzen der Grenzen in den ausgerechneten
Teil möchte ich mal dir selber überlassen.
> Ich habe aber irre Mühe hinten die Lösung zu finden. Habe
> gar in meinem Lehrbuch die Lösung, verstehe aber nicht wie
> man darauf kommt. Es sollte 1/2 ln (3) - 1/2
> [mm]\integral_{-1}^{1} (x-2+\bruch{4}{x+2})[/mm] geben, und
> schliesslich 2-3/2 ln 3
> Verstehe echt nicht wie man das Integral hinten bekommt,
> hoffe ihr könnt mir helfen!
Im Wesentlichen geht es noch um das Integral [mm] $\integral\frac{x^2}{x+2}\ [/mm] dx$
Dafür würde ich die Substitution $\ u:=x+2$ empfehlen.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Do 26.12.2013 | | Autor: | DRose |
[mm] \bruch{x^2}{x+2} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{u} [/mm] u=x+2
= [mm] \bruch{x^3}{3*(x+2)} [/mm] Sollte stimmen, oder?
Wäre dann ja eingesetzt mit x=1 [mm] \bruch{1}{9} [/mm] und mit x=-1 [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{18} [/mm] - [mm] \bruch{-6}{18} [/mm] = [mm] \bruch{8}{18} [/mm] und da ja noch der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor dem Integral ist macht das [mm] \bruch{4}{18}. [/mm]
Würde also auf das Endresultat [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln (3)- [mm] \bruch{4}{18}... [/mm] Wo liegt der Fehler?
|
|
|
| |
|
> [mm]\bruch{x^2}{x+2}[/mm] = [mm]\bruch{x^2}{u}[/mm] u=x+2
> = [mm]\bruch{x^3}{3*(x+2)}[/mm] Sollte stimmen, oder?
Ich verstehe gar nicht, was du hier meinst.
Wenn $\ u\ =\ x+2$ , ist doch $\ x\ =\ u-2$ und folglich
[mm] $\bruch{x^2}{x+2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{(u-2)^2}{u}$
[/mm]
Da kann man den Zähler ausmultiplizieren und dann
den ganzen Term in 3 Summanden zerlegen, die leicht
zu integrieren sind. Für die Integration muss man sich
dabei aber auch noch klar machen, wie man das
Differential $\ du$ durch das alte Differential $\ dx$
ausdrücken kann.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Fr 27.12.2013 | | Autor: | fred97 |
1.Möglichkeit: Polynomdivision [mm] x^2:(x+2).
[/mm]
2. Möglichkeit:
[mm] \frac{x^2}{x+2}=\frac{x^2-4+4}{x+2}=\frac{(x+2)(x-2)+4}{x+2}=x-2+\frac{4}{x+2}.
[/mm]
3. Möglichkeit: die hat Al Dir genannt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Fr 27.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier würde ich erst substituieren, das erleichtert das partielle Integrieren ungemein.
[mm] $\int x\cdot\ln(x+2)dx$
[/mm]
mit u=x+2, und damit dann [mm] \frac{du}{dx}=1, [/mm] also du=dx:
[mm] \int(x-2)\cdot\ln(u)du
[/mm]
Nun partiell integrieren:
[mm] \int\underbrace{(u-2)}_{u'}\cdot\underbrace{\ln(u)}_{v}du
[/mm]
[mm] =\underbrace{\left(\frac{1}{2}u^{2}-2u\right)}_{u}\cdot\underbrace{\ln(u)}_{v}-\int\underbrace{\left(\frac{1}{2}u^{2}-2u\right)}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{u}}_{v'}du
[/mm]
Das hintere Integral kannst du nun schön lösen.
Marius
|
|
|
|
