Partielle Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Do 03.02.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) [/mm] * [mm] cos(\bruch{j}{2}x) [/mm] |
Hab nun mal begonnen:
[mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) [/mm] * [mm] cos(\bruch{j}{2}x)
[/mm]
= [mm] cos(\bruch{1}{2}x) [/mm] * [mm] sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j} [/mm] + [mm] \integral sin(\bruch{1}{2}x) [/mm] * [mm] sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{1}{j}
[/mm]
= [mm] cos(\bruch{1}{2}x) [/mm] * [mm] sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j} [/mm] - [mm] sin(\bruch{1}{2}x) [/mm] * [mm] cos(\bruch{j}{2}x) [/mm] * [mm] \bruch{2}{j^2} [/mm] + [mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) [/mm] * [mm] cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{1}{j^2}
[/mm]
Ist das bis dahin korrekt? Wie zieh ich nun das Integral auf die linke Seite rüber und geh dann weiter voran?
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallo zocca,
es wird über dx integriert, nehme ich an, und j ist eine Konstante [mm] j\in\IR\setminus\{-1,0,1\}, [/mm] oder?
Weiterhin nehme ich an, dass auch x reell ist.
Wenn das alles stimmt, ist Deine Rechnung bis hierhin korrekt.
> [mm]\integral cos(\bruch{1}{2}x)[/mm] * [mm]cos(\bruch{j}{2}x)[/mm]
> Hab nun mal begonnen:
>
> [mm]\integral cos(\bruch{1}{2}x)[/mm] * [mm]cos(\bruch{j}{2}x)[/mm]
> = [mm]cos(\bruch{1}{2}x)[/mm] * [mm]sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j}[/mm] +
> [mm]\integral sin(\bruch{1}{2}x)[/mm] * [mm]sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{1}{j}[/mm]
>
> = [mm]cos(\bruch{1}{2}x)[/mm] * [mm]sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j}[/mm] -
> [mm]sin(\bruch{1}{2}x)[/mm] * [mm]cos(\bruch{j}{2}x)[/mm] * [mm]\bruch{2}{j^2}[/mm] +
> [mm]\integral cos(\bruch{1}{2}x)[/mm] * [mm]cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{1}{j^2}[/mm]
>
> Ist das bis dahin korrekt? Wie zieh ich nun das Integral
> auf die linke Seite rüber und geh dann weiter voran?
Na, wie man das von rechts nach links bringt, weißt Du doch. Aus dem rechten Integral kannst Du (sofern konstant) den Faktor [mm] \bruch{1}{j^2} [/mm] noch vor das Integral ziehen...
Dann ausklammern, Faktor durch Division (bzw. Multiplikation mit Kehrwert) nach rechts, fertig.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 04.02.2011 | | Autor: | zocca21 |
[mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x)
[/mm]
= [mm] cos(\bruch{1}{2}x) sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j} [/mm] - [mm] sin(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j^2} [/mm] + [mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{1}{j^2}
[/mm]
dann erhalte ich:
[mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) [/mm] - [mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{1}{j^2} [/mm] = [mm] cos(\bruch{1}{2}x) sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j} [/mm] - [mm] sin(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j^2}
[/mm]
[mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) [/mm] * (1 - [mm] \bruch{1}{j^2}) [/mm] = [mm] cos(\bruch{1}{2}x) sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j} [/mm] - [mm] sin(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j^2}
[/mm]
[mm] \integral cos(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) [/mm] = [mm] \bruch{cos(\bruch{1}{2}x) sin(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j} - sin(\bruch{1}{2}x) cos(\bruch{j}{2}x) \bruch{2}{j^2}}{1 - \bruch{1}{j^2}}
[/mm]
Und ja man integriert über dx und j [mm] \in \IN
[/mm]
Wenn ich hier nun integriere von 0 bis [mm] 4\pi [/mm] kommt dann zwangsläufig 0 raus egal welches j ich einsetze? Mir fällt gerade keine andere Möglichkeit auf..
|
|
|
| |
|
Hallo zocca,
alles gut. Ich würde den Nenner noch umgestalten zu [mm] \bruch{j^2-1}{j^2} [/mm] und dann den Doppelbruch auflösen. Bei der Gelegenheit verschwinden dann auch die Brüche im Zähler und es wird übersichtlicher. Zugleich sieht man dann sofort, dass j=1 noch separat untersucht werden muss.
Auch richtig ist, dass unabhängig von j das bestimmte Integral in den Grenzen 0 und [mm] 4\pi [/mm] immer =0 ist.
Grüße
reverend
|
|
|
|
