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Hi,
es geht um die Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{ln(x)}{\wurzel{x}}
[/mm]
Diese habe ich erst einmal vereinfacht, um besser Integrieren zu können:
[mm] f(x)=\bruch{ln(x)}{\wurzel{x}}=ln(x)*x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Dann die partielle Integration:
[mm] \integral_{}^{}{ln(x)*x^{-\bruch{1}{2}}dx}=ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*2x^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
[mm] =ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}-2x*\integral_{}^{}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
[mm] =ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}-2x*2x^{\bruch{1}{2}}+C [/mm]
[mm] =2x^{\bruch{1}{2}}\left(ln(x)-2x\right)+C
[/mm]
[mm] =2\wurzel{x}\left(ln(x)-2x\right)+C
[/mm]
Stimmt das in etwa?
mfg, michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 24.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Hi,
> es geht um die Funktion:
>
> [mm]f(x)=\bruch{ln(x)}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> Diese habe ich erst einmal vereinfacht, um besser
> Integrieren zu können:
>
> [mm]f(x)=\bruch{ln(x)}{\wurzel{x}}=ln(x)*x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Dann die partielle Integration:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ln(x)*x^{-\bruch{1}{2}}dx}=ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*2x^{\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
Auch das ist korrekt,
>
> [mm]=ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}-2x*\integral_{}^{}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
Das leider nicht mehr, du darfst das 2x nicht einfach aus den Integral herausziehen.
Du hast:
[mm] \integral\ln(x)*x^{-\bruch{1}{2}}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-\integral\bruch{1}{x}*2x^{\bruch{1}{2}}dx
[/mm]
Jetzt fasse das hintere Integral mal zusammen
[mm] \left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-\integral\bruch{1}{x}*2x^{\bruch{1}{2}}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-\integral\bruch{2x^{\bruch{1}{2}}}{x}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-\integral\bruch{2\wurzel{x}}{x}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-\integral\bruch{2\wurzel{x}}{\wurzel{x}*\wurzel{x}}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-\integral\bruch{2}{\wurzel{x}}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-2\integral\bruch{1}{\wurzel{x}}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2x^{\bruch{1}{2}}\right]-2\integral\bruch{\green{2}}{\green{2}\wurzel{x}}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2\wurzel{x}\right]-4\integral\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx
[/mm]
Das hintere Integral kannst du nun mit bekannten Mitteln lösen.
[mm] =\left[\ln(x)*2\wurzel{x}\right]-4\integral\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx
[/mm]
[mm] =\left[\ln(x)*2\wurzel{x}\right]-4\wurzel{x}
[/mm]
Jetzt kannst du noch [mm] 2\wurzel{x} [/mm] ausklammern.
Marius
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