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Hallo,
ich habe hier ein Beispiel zur partiellen Integration und verstehe nicht ganz, wieso die partielle Integration hier mehrfach ausgeführt werden soll.
[mm] \integral sin(x)*x^2 [/mm] dx
Durch partielle Integration ergibt sich
[mm] \integral [/mm] sin(x) * [mm] x^2 [/mm] dx = -cos(x) * [mm] x^2 [/mm] - [mm] \integral [/mm] (-cos(x) * 2x) dx
Frage: Was passiert mit dem Ausdruck links, also vor dem Gleichheitszeichen? Und was muss ich jetzt noch machen und warum?
Gibt es eine Faustregel, wann ich in der Regel diese und wann ich die Substitutionsmethode nutze?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> [mm]\integral sin(x)*x^2[/mm] dx
>
> Durch partielle Integration ergibt sich
>
> [mm]\integral[/mm] sin(x) * [mm]x^2[/mm] dx = -cos(x) * [mm]x^2[/mm] - [mm]\integral[/mm] (-cos(x) * 2x) dx
>
> Frage: Was passiert mit dem Ausdruck links, also vor dem
> Gleichheitszeichen?
Nichts ... das ist ja das zu lösende Integral.
> Und was muss ich jetzt noch machen und warum?
Nun musst Du auf der rechten Seite der Gleichung das Integralzeichen entfernen, indem Du für [mm] $-\integral{-2x*\cos(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] +2*\integral{x*\cos(x) \ dx}$ [/mm] nochmals die partielle Integration anwendest.
> Gibt es eine Faustregel, wann ich in der Regel diese und
> wann ich die Substitutionsmethode nutze?
Zum eine´n ist es Übung. Zum anderen verwendet man die Subsitutionsmtehode, wenn die Ableitung einer Teilfunktion im Integral auftaucht.
Bei Anwendung der partiellen Integration sollte sich das neu entstehende Integral vereinfachen im Vergleich zum Ausgangsintegral.
Gruß
Loddar
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> Nun musst Du auf der rechten Seite der Gleichung das
> Integralzeichen entfernen, indem Du für
> [mm]-\integral{-2x*\cos(x) \ dx} \ = \ +2*\integral{x*\cos(x) \ dx}[/mm]
> nochmals die partielle Integration anwendest.
Wie kommst du auf diesen Ausdruck und was ist der Grund, weshalb ich nochmal partiell integrieren muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> Wie kommst du auf diesen Ausdruck
Diesen Ausdruck habe ich 1:1 aus Deinem eigenen Post entnommen. Von daher musst Du ja wissen, wie er entstanden ist.
> und was ist der Grund, weshalb ich nochmal partiell integrieren muss?
Salopp: weil es keine andere Möglichkeit gibt (es sei denn, Du willst über die Reihendarstellung des [mm] $\cos(x)$ [/mm] gehen).
Denn im nächsten Schritt der partiellen Integration ensteht ein Integral ohne den Faktor $x_$ . Diese Integral lässt sich dann schnell bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:57 Di 06.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Der gleiche ist es doch nicht, es sei denn, du hast was umgestellt. Ich sehe gerade aber nicht wo und warum.
Den Grund für die 2. Integration habe ich immernoch nicht verstanden, tut mir leid :( Ich beherrsche die Methode noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
$$ [mm] \red{-\integral{-2x\cdot{}\cos(x) \ dx}} [/mm] \ = \ [mm] +2\cdot{}\integral{x\cdot{}\cos(x) \ dx} [/mm] $$
Das Rote ist exakt aus Deinem Post entnommen (als separater Term, da fehlt ja noch etwas davor). Ich habe dann lediglich den konstanten Faktor $-2$_ vor das Integral gezogen.
> Den Grund für die 2. Integration habe ich immernoch nicht
> verstanden, tut mir leid :( Ich beherrsche die Methode noch
> nicht.
Ich befürchte, wir reden etwas aneinander vorbei ... Vielleicht solltest Du mal Dein Frage präzisieren.
Gruß
Loddar
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Vielleicht war die Aufgabe doch etwas zu schwer.
Ich nehme mal das Folgende Beispiel:
Integral von sin(x)*sin(x)dx
ich setze v=sin(x) und v'=cos(x)
u'=sin(x) und u=-cos(x)
Damit habe ich
[mm] \integral [/mm] sin²(x)dx=-sin(x)*cos(x)+ [mm] \integral [/mm] cos(x)*cos(x)
Was geschieht nun mit cos²(x)? Ich weiß zwar die Stammfunktion zu cos(x) aber nicht zu cos²(x).. ist das sin²(x)?
Wie mache ich nun weiter?
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Hallo Englein89,
> Vielleicht war die Aufgabe doch etwas zu schwer.
>
> Ich nehme mal das Folgende Beispiel:
>
> Integral von sin(x)*sin(x)dx
>
> ich setze v=sin(x) und v'=cos(x)
> u'=sin(x) und u=-cos(x)
>
> Damit habe ich
>
> [mm]\integral[/mm] sin²(x)dx=-sin(x)*cos(x)+ [mm]\integral[/mm]
> cos(x)*cos(x)
>
> Was geschieht nun mit cos²(x)? Ich weiß zwar die
> Stammfunktion zu cos(x) aber nicht zu cos²(x).. ist das
> sin²(x)?
>
> Wie mache ich nun weiter?
Ersetze [mm]\cos^{2}\left(x\right)[/mm] gemäß des trigonometrischen Pythagoras:
[mm]\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]
Gruß
MathePower
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Ich habe noch nie etwas von dieser Umformung gehört. Gibt es keine andere Möglichkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Do 08.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> Ich habe noch nie etwas von dieser Umformung gehört.
Das solltest Du aber, denn diese Gleichheit verwndet man öfters.
> Gibt es keine andere Möglichkeit?
Nö.
Gruß
Loddar
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Wir haben nämlich einfach nur geschrieben, dass [mm] cos(x)^2 [/mm] als Stammfunktion [mm] 1-sin^2(x) [/mm] hat. Das hat mich verwirrt.
Ich habe hier noch ein Beispiel, wo ich einfach nicht auf den richtigen Weg komme:
[mm] \integral e^x [/mm] *sin(x)
Ich habe:
[mm] e^x [/mm] als f bezeichnet und sin(x) als g'
also:
[mm] \integral e^x [/mm] *sin(x) = [mm] e^x [/mm] * (-cos x) - [mm] \integral e^x [/mm] * (-cos x)
nun also 2. Integration:
- [mm] \integral e^x [/mm] * (-cos x)= [mm] -e^x [/mm] (?)*(-cos x) [mm] \integral e^x [/mm] * - sin(x)
Aber damit habe ich ja nichts vereinfacht. Rechenfehler oder falsche Bennennung der einzelnen Terme?
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Hallo Englein89,
> Wir haben nämlich einfach nur geschrieben, dass [mm]cos(x)^2[/mm]
> als Stammfunktion [mm]1-sin^2(x)[/mm] hat. Das hat mich verwirrt.
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> Ich habe hier noch ein Beispiel, wo ich einfach nicht auf
> den richtigen Weg komme:
>
> [mm]\integral e^x[/mm] *sin(x)
>
> Ich habe:
>
> [mm]e^x[/mm] als f bezeichnet und sin(x) als g'
>
> also:
>
> [mm]\integral e^x[/mm] *sin(x) = [mm]e^x[/mm] * (-cos x) - [mm]\integral e^x[/mm] *
> (-cos x)
>
> nun also 2. Integration:
>
> - [mm]\integral e^x[/mm] * (-cos x)= [mm]-e^x[/mm] (?)*(-cos x) [mm]\integral e^x[/mm]
> * - sin(x)
Hier hast Du [mm]g'=e^{x}[/mm] und [mm]f\left(x\right)=\cos\left(x\right)[/mm],
was sich natürlich mit der ersten Integration aufhebt.
Demnach mußt Du hier [mm]f\left(x\right)=e^{x}[/mm] und [mm]g'\left(x\right)=\cos\left(x\right)[/mm] wählen.
Damit kommst Du ans Ziel.
>
> Aber damit habe ich ja nichts vereinfacht. Rechenfehler
> oder falsche Bennennung der einzelnen Terme?
Gruß
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
also ich habe jetzt hin und hergerechnet, aber ich komme einfach auf kein Ergebnis. War denn meine erste Integration richtig? Könnte mir jemand zeigen, wie ich nun weitermache und auf ein Ergebnis komme? :(
Ich habe mich auch nochmal an diese Aufgabe begeben:
[mm] \integral [/mm] x* e hoch [mm] (-x^2/2)
[/mm]
Ich habe x=g' gesetzt und die e-FUnktion als f, aber ich bekomme dann so etwas
[mm] \integral [/mm] x* e hoch [mm] (-x^2/2)= [/mm] e hoch [mm] (-x^2/2) *0,5x^2 [/mm] - [mm] \integral [/mm] 0,5e hoch [mm] (-x^2/2)*x*(-\bruch{-x^2 +4x}{4}
[/mm]
Irgendwie wird darauf bei mir immer nur etwas ganz Schlimmes :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 10.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Englein,
ich bin etwas verwirrt, nachdem ich alle Beiträge gelesen habe.
Inzwischen sind drei verschiedene Aufgaben in Umlauf.
Zu welcher willst Du denn nun den Lösungsweg wissen?
Ich schreibe mal eine Antwort zu [mm] x^2\sin{x}, [/mm] vielleicht hilft das weiter. Wenn nicht, sag Bescheid.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich meine das letzte Beispiel: [mm] e^x [/mm] *sin x
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> [mm]\integral e^x[/mm] *sin(x)
>
[mm] \integral{e^x\sin{x} dx}=e^x*(-\cos{x})-\integral{e^x*(-\cos{x}) dx}=\red{-e^x\cos{x}+\integral{e^x\cos{x} dx}}
[/mm]
...hattest Du richtig heraus. Die rote Umformung habe ich noch dazu gesetzt.
> nun also 2. Integration:
>
> - [mm]\integral e^x[/mm] * (-cos x)= [mm]-e^x[/mm] (?)*(-cos x) [mm]\integral e^x[/mm]
> * - sin(x)
Ich würde, nur zur Fehlervermeidung, folgendes behandeln:
[mm] \red{\integral{e^x\cos{x} dx}}=e^x\sin{x}-\integral{e^x\sin{x} dx}
[/mm]
> Aber damit habe ich ja nichts vereinfacht. Rechenfehler
> oder falsche Bennennung der einzelnen Terme?
Das setzt Du jetzt oben ein und erhältst:
[mm] \integral{e^x\sin{x} dx}=-e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-\integral{e^x\sin{x} dx}
[/mm]
Durch einfache Umformungen bekommst Du dann:
[mm] \integral{e^x\sin{x} dx}=\bruch{1}{2}e^x(\sin{x}-\cos{x})
[/mm]
lg,
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:02 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Warum wird es bei mir denn immer so kompliziert? Irgendwie komme ich mit den Umformungen noch nicht so klar.
Wie kommst du denn am Ende auf 1/2? Ich sehe nicht ganz, wie du am ENde umgeformt hast.
Aber danke für die Mühe, die Aufgabe habe ich jetzt verstanden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hat sich erledigt. Danke! Habs verstanden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 10.01.2009 | | Autor: | reverend |
Freut mich.
Du behandelst das ganze Integral einfach wie eine Variable.
Integral=Term-Integral kann man umformen zu
2*Integral=Term, Integral= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Term.
ciao,
rev
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Ok.
Da ich das Integral con [mm] cos(x)^2 [/mm] dx bilden soll, mache ich also Folgendes?
[mm] cos^2(x)=1-sin^2(x)
[/mm]
Aber das gibt mir ja immernoch nicht das Integral von [mm] sin^2(x). [/mm] Irgendwie drehe ich mich doch dann im Kreise, oder?
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Ja, aber Du kommst einen Schritt weiter wieder am Anfang des Kreises an und hast neue Erkenntnisse gewonnen. Die kannst Du dann einsetzen, siehe meine letzten beiden Beispiele (besonders die Lösung zu [mm] e^x\sin{x} [/mm] ).
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> [mm] \integral{sin(x)*x^2 dx}
[/mm]
>
> Durch partielle Integration ergibt sich
>
> [mm] \integral{sin(x)*x^2 dx}=-cos(x)*x^2-\integral{(-cos(x)*2x) dx}
[/mm]
Loddar hat dann umgeformt zu [mm] =-cos(x)*x^2+2\integral{(cos(x)*x) dx}
[/mm]
Übrigens ist Deine Schreibweise fehleranfällig. Besser ist, von vornherein [mm] x^2\sin{x} [/mm] zu schreiben. So kommt man nicht in Versuchung, den Faktor [mm] x^2 [/mm] mit ins Argument des Sinus hineinzuziehen. Das passiert sonst schnell mal.
Das Integral auf der rechten Seite ist noch offen und soll weiter mit partieller Integration bearbeitet werden.
[mm] \integral{x*\cos{x} dx}=x*\sin{x}-\integral{1*(\sin{x}) dx}=x\sin{x}+\cos{x}
[/mm]
Das jetzt oben eingesetzt ergibt:
[mm] \integral{x^2\sin{x} dx}=-x^2\cos{x}+2\integral{x\cos{x} dx}=-x^2\cos{x}+2*(x\sin{x}+\cos{x})=2x\sin{x}-(x^2-2)\cos{x}
[/mm]
Klarer?
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
kann dieser Thread bitte als beantwortet angesehen werden? Es stellt sich mir hier noch eine Frage, aber die werde ich einfach separat posten, da es sonst in einem Chaos endet.
Danke!
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