Partielle Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Mo 10.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
| Aufgabe | 1. [mm] x(e^{2y})-y(e^{2x})=a [/mm] (a Element der reellen Zahlen)
geforderte Abl.: [mm] \bruch{dy}{dx}
[/mm]
2. [mm] y+x=(e^{\bruch{y}{x}} [/mm] gef. Abl.: [mm] \bruch{dy}{dx}
[/mm]
3. xy +lny+lnx=0 Ableiten zu: [mm] \bruch{dy}{dx}
[/mm]
4. [mm] z=xe^{y} [/mm] mit y= y(x) nach [mm] \bruch{dz}{dx}
[/mm]
5. [mm] z=e^{x/y}*ln(y) [/mm] damit soll man zeigen: [mm] x\bruch{\partialz}{\partialx}+y\bruch{\partial z}{\partial y}=\bruch{z}{lny} [/mm] |
Zu 1:
dy steht hierbei doch für die Ableitung nach x und umgekehrt oder? Sieht für mich ein bischen wirr aus, das Ergebnis ist aber sonst nicht zu erreichen...
Zu 2:
Wie starte ich solch eine Aufgabe? Muss ich für das Ableiten nach x die Gleichung so umstellen, das y alleine auf einer Seite steht?
Oder bring ich den e-Term rüber, so dass die Gleichung in der impliziten Form steht?
Egal was ich mache, ich komme nicht auf das geforderte Ergebnis.
Zu 3:
Ich würde hier ganz normal nach Faktorregel ableiten. Wenn ich die beiden Ergebnisse in die gewünschte Form bringe, komm ich allerdings nie auf das geforderte Ergebnis von :
[mm] y^{'}=-\bruch{y}{x}
[/mm]
Zu 4.
Wie komme ich hier auf das Ergebnis Zx= [mm] e^y [/mm] * [mm] (1+x\bruch{dy}{dx}. [/mm] Und warum???
zu 5. Ich komme hierbei auf den Term:
[mm] -\bruch{xe^(x/y)}{y²}=e^{x/y} [/mm] Aber damit kann ich ja nicht den gesuchten Beweis antreten.
Mit freundlichen Grüßen
Ich glaub ich verzweifel hier...
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Hallo FHTuning,
> 1. [mm]x(e^{2y})-y(e^{2x})=a[/mm] (a Element der reellen Zahlen)
> geforderte Abl.: [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]
> 2. [mm]y+x=(e^{\bruch{y}{x}}[/mm] gef. Abl.: [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> 3. xy +lny+lnx=0 Ableiten zu: [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> 4. [mm]z=xe^{y}[/mm] mit y= y(x) nach [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm]
>
> 5. [mm]z=e^{x/y}*ln(y)[/mm] damit soll man zeigen:
> [mm]x\bruch{\partialz}{\partialx}+y\bruch{\partial z}{\partial y}=\bruch{z}{lny}[/mm]
>
> Zu 1:
>
> dy steht hierbei doch für die Ableitung nach x und
> umgekehrt oder? Sieht für mich ein bischen wirr aus, das
> Ergebnis ist aber sonst nicht zu erreichen...
>
> Zu 2:
>
> Wie starte ich solch eine Aufgabe? Muss ich für das
> Ableiten nach x die Gleichung so umstellen, das y alleine
> auf einer Seite steht?
>
> Oder bring ich den e-Term rüber, so dass die Gleichung in
> der impliziten Form steht?
>
> Egal was ich mache, ich komme nicht auf das geforderte
> Ergebnis.
>
> Zu 3:
> Ich würde hier ganz normal nach Faktorregel ableiten.
> Wenn ich die beiden Ergebnisse in die gewünschte Form
> bringe, komm ich allerdings nie auf das geforderte Ergebnis
> von :
>
> [mm]y^{'}=-\bruch{y}{x}[/mm]
Bei den Aufgaben 1 bis 3 ist y eine Funktion von x.
Beispielsweise bei Aufgabe 1 hast Du dann
[mm]x*e^{2y\left(x\right)}-y\left(x\right)*e^{2x}=a[/mm]
Dies mußt Du dann nach x differenzieren.
>
> Zu 4.
>
> Wie komme ich hier auf das Ergebnis Zx= [mm]e^y[/mm] *
> [mm](1+x\bruch{dy}{dx}.[/mm] Und warum???
Hier ist mit
[mm]z\left(x\right)=x*e^{y\left(x\right)}[/mm]
anzusetzen.
>
> zu 5. Ich komme hierbei auf den Term:
>
> [mm]-\bruch{xe^(x/y)}{y²}=e^{x/y}[/mm] Aber damit kann ich ja nicht
> den gesuchten Beweis antreten.
Hier sollst Du die partiellen Ableitungen [mm]z_{x}, \ z_{y}[/mm] bilden,
und die Gültigkeit der Gleichung
[mm]x\bruch{\partial z}{\partial x}+y\bruch{\partial z}{\partial y}=\bruch{z}{lny}[/mm]
zeigen.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Ich glaub ich verzweifel hier...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Di 11.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Hallo,
leider komme ich mit dieser Aussage y sei eine Funktion von x, also y(x) zurecht.
Wäre es möglich mal eine der Ableitungen einen Schritt weiter durchzuführen?
Mit Vorliebe Ableitung 2. Das Ergebnis soll hierbei:
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{x^2+xy+y^2}{xy} [/mm] sein.
Ich komme leider absolut nicht auf dieses Ergebnis, auch wenn erweiter.
Bitte helft mir!!
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[mm]y + x = \operatorname{e}^{\frac{y}{x}}[/mm]
Hier ist [mm]x[/mm] die unabhängige und [mm]y[/mm] die abhängige Variable. Das erkennt man daran, daß [mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}[/mm] zu berechnen ist; oben steht die abhängige, unten die unabhängige Variable. Für die Ableitung schreibe ich der Bequemlichkeit halber [mm]y'[/mm]. Du kannst nun die Gleichung oben nicht, wie du es vielleicht gewohnt bist, rechnerisch nach [mm]y[/mm] auflösen (so wie in [mm]y = x^2[/mm]; wenn du hier ableiten willst, erhältst du [mm]y' = 2x[/mm]). Ansonsten geht es aber wie gehabt: Summen werden nach der Summenregel, Produkte nach der Produktregel, Quotienten nach der Quotientenregel und Verkettungen nach der Kettenregel differenziert.
Links hast du eine Summe, die Ableitung ist nach der Summenregel [mm]y' + 1[/mm]. Rechts hast du eine Verkettung mit der e-Funktion als äußerer Funktion und [mm]\frac{y}{x}[/mm] als innerer Funktion. Kettenregel: Ableitung der äußeren Funktion, die innere mitgeschleppt, mal Ableitung der inneren Funktion (nachdifferenzieren).
Da die e-Funktion sich beim Ableiten reproduziert, erhältst du somit als Ableitung der rechten Seite
[mm]\operatorname{e}^{\frac{y}{x}} \cdot \ \text{nachdifferenzierte Funktion}[/mm]
Jetzt ist die innere Funktion [mm]\frac{y}{x}[/mm] ein Quotient. Fürs Nachdifferenzieren brauchst du also die Quotientenregel. Das kannst du dir einmal selber zurechtlegen. Am Ende bekommst du eine Gleichung
[mm]y' + 1 = \operatorname{e}^{\frac{y}{x}} \cdot \ \text{nachdifferenzierte Funktion}[/mm]
Hier kannst du rechts [mm]\operatorname{e}^{\frac{y}{x}}[/mm] nach der Ausgangsgleichung einfach durch [mm]y + x[/mm] ersetzen. So bekommst du eine Gleichung mit [mm]x,y,y'[/mm]. Wenn du die nach [mm]y'[/mm] auflöst, sollte sich der Term der Lösung ergeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:30 Di 11.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Ok, hab ich verstanden. Viele Dank für die ausführliche Erklärung!!!
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