Partielle Ableitung f_xy < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Slint |
| Aufgabe | | Man berechne die partiellen Ableitungen [mm] $f_x$, $f_y$,...,$f_{xy}$ [/mm] der Funktion [mm] $$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$ [/mm] |
Guten Abend, ich sitze gerade an der partiellen Ableitung [mm] $f_{xy}$ [/mm] und habe ein Ergebnis ermittelt. Leider stimmt das Ergbnis nicht mit dem von Maple ermittelten Ergebnis überein. Ich bin wie folgt vorgegangen:
Habe die notwendige partielle Ableitung [mm] $f_x [/mm] = [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ [/mm] ermittelt, bis hier hin stimmt meine Rechnung. Dann wollte ich wie folgt weiter rechnen:
[mm] $$f_x \;= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\to f_x\;=\frac{x}{\sqrt{u}}\to f_x=x\cdot u^{-1/2},\;u=\sqrt{x^2+y^2}$$
[/mm]
Nach der Substitution folgt die partielle Ableitung nach Kettenregel:
[mm] $$f_{xy}\;=\frac{\partial f_x}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}\;= x(-\frac{1}{2}(u)^{-\frac{2}{3}})\cdot [/mm] 2y [mm] \;= -2xy\cdot \frac{1}{2}(u)^{-\frac{2}{3}}\;= -2xy(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2)^{-\frac{2}{3}}\;\to f_{xy}\;=\frac{-2xy}{(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2)^{\frac{2}{3}}}$$
[/mm]
Soweit so gut, leider soll mein Ergebnis falsch sein. Es wäre schön wenn mal jemand auf die Rechnung schauen könnte und mir sagen könnte wo der Fehler oder ob ein Fehler von mir gemacht wurde.
Vielen Dank im Voraus...
Gruß
Robert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Robert!
Zum einen machst Du einen Fehler beim Bruchrechnen ( Potenzregel beim Ableiten).
Es gilt:
[mm] $$-\bruch{1}{2}-1 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] -\bruch{2}{3}$$
[/mm]
Zudem ist mir nich klar, wie Du plötzlich den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] innerhalb des Wurzelausdrucks "hinzauberst".
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Slint |
Oh, so ein unnötiger Potenzfehler. Und was ich mir bei den [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] im Wurzelausdruck gedacht habe kann ich auch nicht richtig sagen 
Ich komme jetzt auf das Ergebnis:
[mm] $f_{xy}\;= \frac{-xy}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$
[/mm]
Und das ist es wohl dann auch :)
Vielen Dank Loddar!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Slint |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Leider hänge ich schon wieder fest. Ich möchte gerne $f_{xx}$ ermittelt, bekomme aber wieder ein falsches Ergebnis raus.
Ich habe $f_x$ wieder nach x partiell abgeleitet und bekomme dieses Ergebnis:
$f_{xx}\;=\frac{-x^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}$
Leider meint Maple aber das folgendes Ergebnis raus kommen soll:
$f_{xx}\;=\frac{-x^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} \; + \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
Wie komme ich denn auf dieses Ergbnis?
Gruß
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> Leider hänge ich schon wieder fest. Ich möchte gerne
> [mm]f_{xx}[/mm] ermittelt, bekomme aber wieder ein falsches Ergebnis
> raus.
>
> Ich habe [mm]f_x[/mm] wieder nach x partiell abgeleitet und bekomme
> dieses Ergebnis:
>
> [mm]f_{xx}\;=\frac{-x^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}[/mm]
>
> Leider meint Maple aber das folgendes Ergebnis raus kommen
> soll:
>
> [mm]f_{xx}\;=\frac{-x^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} \; + \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie komme ich denn auf dieses Ergbnis?
nach der quotientenregel trennst du die differenz im zähler in einzelne brüche, kürzt ein bisschen und hat das ergebnis wie maple.. anscheinend scheint die quotientenregel bei dir aber schon misslungen
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Slint |
Vielen Dank, werde es nachher nochmal rechnen.
Gruß
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