Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 20.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Stammfunktion, des folgenden Integrals:
[mm] I=\integral \bruch{2x-4}{x^{2}-4x+4} [/mm] |
Guten Abend zusammen,
habe eine Frage an Euch.
Habe als erstes die Nullstellen des Nenners ermittelt.
[mm] x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}->x_{1,2}=2 [/mm] (doppelte Nullstelle)
Die Zuordnung der Patialbrüche sieht folgendermaßen aus:
[mm] \bruch{A}{x-3}+\bruch{B}{(x-3)^{2}}
[/mm]
Partialbruchzerlegung (Ansatz):
[mm] \bruch{2x-4}{x^{2}-4x+4}=\bruch{2x-4}{(x-2)^{2}}=\bruch{A}{x-3}+\bruch{B}{(x-3)^{2}}
[/mm]
Berechnung der Konstanten:
2x-4=A(x-2)+B->Einsetzmethode
Wie mache ich jetzt weiter.
Wenn ich jetzt [mm] x_{1}=2 [/mm] einsetze, bekomme ich für die linke und somit rechte Seite für A=0 raus. Was mache ich falsch? Könnt Ihr bitte mal schauen, ob Ihr den Fehler seht?
Vielen,vielen Dank!
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Entwickeln Sie die Stammfunktion, des folgenden Integrals:
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> [mm]I=\integral \bruch{2x-4}{x^{2}-4x+4}[/mm]
> Guten Abend
> zusammen,
>
Hallo,
> habe eine Frage an Euch.
>
> Habe als erstes die Nullstellen des Nenners ermittelt.
>
> [mm]x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}->x_{1,2}=2[/mm] (doppelte Nullstelle)
>
Das stimmt. Nun klammere im Zähler einmal den Faktor 2 aus, kürze $(x-2)$ im Zähler und Nenner und erhalte
[mm] $\int \frac{2}{x-2}dx=2\int \frac{1}{x-2}dx$
[/mm]
Nun verwende die Substitutionsregel mit Substitution [mm] $\varphi(x)=x-2$ [/mm] und mache Gebrach von [mm] $\ln(y)=\int\frac{1}{y}dy$. [/mm] Partialbruchzerlegung wird hier nicht gebraucht und ist insbesondere hier nicht anwendbar,
> Die Zuordnung der Patialbrüche sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]\bruch{A}{x-3}+\bruch{B}{(x-3)^{2}}[/mm]
>
> Partialbruchzerlegung (Ansatz):
>
> [mm]\bruch{2x-4}{x^{2}-4x+4}=\bruch{2x-4}{(x-2)^{2}}=\bruch{A}{x-3}+\bruch{B}{(x-3)^{2}}[/mm]
>
> Berechnung der Konstanten:
>
> 2x-4=A(x-2)+B->Einsetzmethode
>
> Wie mache ich jetzt weiter.
>
> Wenn ich jetzt [mm]x_{1}=2[/mm] einsetze, bekomme ich für die linke
> und somit rechte Seite für A=0 raus. Was mache ich falsch?
> Könnt Ihr bitte mal schauen, ob Ihr den Fehler seht?
>
> Vielen,vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mbau!
> 2x-4=A(x-2)+B->Einsetzmethode
>
> Wenn ich jetzt [mm]x_{1}=2[/mm] einsetze, bekomme ich für die linke
> und somit rechte Seite für A=0 raus.
Du meinst wohl eher: [mm]\red{B} \ = \ 0[/mm] .
> Was mache ich falsch?
Nichts. Was folgt denn dann für [mm]A \ = \ ...[/mm] ? - - - Voilà!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo mbau!
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> > 2x-4=A(x-2)+B->Einsetzmethode
> >
> > Wenn ich jetzt [mm]x_{1}=2[/mm] einsetze, bekomme ich für die linke
> > und somit rechte Seite für A=0 raus.
>
> Du meinst wohl eher: [mm]\red{B} \ = \ 0[/mm] .
>
>
> > Was mache ich falsch?
>
> Nichts. Was folgt denn dann für [mm]A \ = \ ...[/mm] ? - - -
> Voilà!
>
Sobald einer der Werte $A,B$ den Wert $0$ annimmt, sollten bei Dir die Sirenen angehen! Genauer ist dies ein Zeichen dafür, dass Du das Kürzen vergessen hast, auf das ich Dich in meiner Antwort hingewiesen habe.
> Gruß
> Loddar
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Denny!
Keine Angst. Ich hatte sowohl die binomische Formel und auch die Möglichkeit des Kürzens von Beginn an gesehen.
Ich wollte damit nur zum Ausdruck bringen, dass auch die Methode des Fragers nichtsdestotrotz zum gewünschten Ergebnis geführt hätte.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Sorry für das Missverständnis! Meine Mitteilung war an den Fragesteller gerichtet. Natürlich sollte man auch diese Situation kennenlernen, in der man das Kürzen vergessen hat und die Partialbruchzerlegung nicht anwendbar ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mo 20.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo mbau!
>
>
> > 2x-4=A(x-2)+B->Einsetzmethode
> >
> > Wenn ich jetzt [mm]x_{1}=2[/mm] einsetze, bekomme ich für die linke
> > und somit rechte Seite für A=0 raus.
>
> Du meinst wohl eher: [mm]\red{B} \ = \ 0[/mm] .
Okay, wie komme ich drauf?
Meine Version (Einsetzmethode):
2x-4=A(x-2)+B
[mm] x_{1}=2
[/mm]
2*2-4=0
A(0-2)=-2A
Daraus folgt-> 0=-2A->A=0 -> Es ist falsch! Aber wo liegt der Fehler?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> > Hallo mbau!
> >
> >
> > > 2x-4=A(x-2)+B->Einsetzmethode
> > >
> > > Wenn ich jetzt [mm]x_{1}=2[/mm] einsetze, bekomme ich für die linke
> > > und somit rechte Seite für A=0 raus.
> >
> > Du meinst wohl eher: [mm]\red{B} \ = \ 0[/mm] .
>
> Okay, wie komme ich drauf?
>
> Meine Version (Einsetzmethode):
>
> 2x-4=A(x-2)+B
>
> [mm]x_{1}=2[/mm]
>
> 2*2-4=0
>
> A(0-2)=-2A
>
> Daraus folgt-> 0=-2A->A=0 -> Es ist falsch! Aber wo liegt
> der Fehler?
>
Auf der linken Seite der Gleichung setzt Du für x=2 ein,
auf der rechten Seite der Gleichung x=0.
Damit A verschwindet, ist auf beiden Seiten der Gleichung x=2 einzusetzen.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
> > Hallo mbau!
> >
> >
> > > 2x-4=A(x-2)+B->Einsetzmethode
> > >
> > > Wenn ich jetzt [mm]x_{1}=2[/mm] einsetze, bekomme ich für die linke
> > > und somit rechte Seite für A=0 raus.
> >
> > Du meinst wohl eher: [mm]\red{B} \ = \ 0[/mm] .
>
> Okay, wie komme ich drauf?
>
> Meine Version (Einsetzmethode):
>
> 2x-4=A(x-2)+B
So jetzt musst Du einen Koeffizientenvergleich (!!!) machen, d.h.
$2x=Ax$ (für alle $x$)
$-4=B-2A$
Da die erste Gleichung für $x=0$ automatisch gilt, überprüfen wir sie für [mm] $x\neq [/mm] 0$ und teilen diese durch $x$, dann erhalten wir die Gleichungen
$2=A$
$-4=B-2A$
In der ersten Gleichung steht der Wert von $A$, denn $A=2$. Setze dies nun zur Berechnung in die 2. Gleichung ein
$-4=B-4$
addiere beide Seiten mit $4$, dann erhälst Du $B=0$, was Dir zeigt, dass Partialbruchzerlegung hier nicht funktioniert (insofern Du Dich nicht verrechnet hast).
> [mm]x_{1}=2[/mm]
>
> 2*2-4=0
>
> A(0-2)=-2A
>
> Daraus folgt-> 0=-2A->A=0 -> Es ist falsch! Aber wo liegt
> der Fehler?
>
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Bitte achte darauf in Zukunft, dass Deine Fragen bezüglich der Partialbruchzerlegung und bezüglich der Berechnung von derartigen Integralen in das Uni-Analysis Forum stellst, da diese Fragen nicht wirklich einen numerischen Hintergrund haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Heatshawk |
Wieso benötigt man hier die Partialbruchzerlegung, im Zähler steht doch die Ableitung des Nenners.
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Logarithmische_Integration