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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 17.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | [mm] f:\IR [/mm] \ {-1,1} [mm] \rightarrow \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{3x^{2}+5x-4}{(x-1)(x+1)^{2}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
klar ist:
[mm] ...=\bruch{A}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x+1)^{2}}
[/mm]
meine Lösung: [mm] A=\bruch{5}{4}, B=-\bruch{5}{4}, C=\bruch{1}{2}
[/mm]
Irgendwas hab ich wohl falsch gemacht, denn die richtige Lösung (sieht man vermutlich auf den ersten Blick, ich hätte aber trotzdem gern einen Rechenweg dazu, weil ich dazu neige, sowas NICHt auf den 1.Blick zu sehen...^^) ist: A=1 , B=2 , C=3. Nur was?
Was ich gemacht hab: einfach ausmultipliziert, nach Ähnlichkeit bezüglich x zusammengefasst und dann folgende 4 Gleichungen aufgestellt:
(1) A+B = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] A=-B
(2) 3A+B+C-3 = 0
(3) 3A-B-5 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] mit (1):A = [mm] \bruch{5}{4} [/mm] und das ist ja schon falsch...
(4) 4+A-B-C = 0
Kann das sein dass man eventuell wegen dem [mm] x^{3} [/mm] diese Gleichungen nicht einfach so aufstellen darf? Also bei einem Polynom 2.Grades darf man das ja (da hab ich mit dieser ultra-schnellen Lösungsmethode auch IMMER das richtige Ergebnis rausgehabt - bis jetzt).
Danke schonmal fürs Fehlersuchen,
à la fin
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> [mm]f:\IR[/mm] \ {-1,1} [mm]\rightarrow \IR[/mm]
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> [mm]f(x)=\bruch{3x^{2}+5x-4}{(x-1)(x+1)^{2}}[/mm]
>
> klar ist:
> [mm]...=\bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x+1)}+\bruch{C}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> meine Lösung: [mm]A=\bruch{5}{4}, B=-\bruch{5}{4}, C=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Irgendwas hab ich wohl falsch gemacht, denn die richtige
> Lösung (sieht man vermutlich auf den ersten Blick, ich
> hätte aber trotzdem gern einen Rechenweg dazu, weil ich
> dazu neige, sowas NICHt auf den 1.Blick zu sehen...^^) ist:
> A=1 , B=2 , C=3. Nur was?
>
> Was ich gemacht hab: einfach ausmultipliziert, nach
> Ähnlichkeit bezüglich x zusammengefasst und dann folgende
> 4 Gleichungen aufgestellt:
> (1) A+B = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] A=-B
> (2) 3A+B+C-3 = 0
> (3) 3A-B-5 = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] mit (1):A = [mm]\bruch{5}{4}[/mm] und
> das ist ja schon falsch...
> (4) 4+A-B-C = 0
> Kann das sein dass man eventuell wegen dem [mm]x^{3}[/mm] diese
> Gleichungen nicht einfach so aufstellen darf? Also bei
> einem Polynom 2.Grades darf man das ja (da hab ich mit
> dieser ultra-schnellen Lösungsmethode auch IMMER das
> richtige Ergebnis rausgehabt - bis jetzt).
>
> Danke schonmal fürs Fehlersuchen,
> à la fin
Hallo,
um die richtigen Gleichungen zu erhalten, musst du
den gegebenen Term und den Partialbruchansatz
auf gleichen Nenner bringen und dann die Zähler
gliedweise vergleichen. Dieser Vergleich geht
gliedweise nach Potenzen von x. So kommt als
erste Gleichung (für die Faktoren bei [mm] x^2) [/mm] z.B.
nicht die Gleichung A+B=0 , sondern A+B=3
heraus.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Do 17.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
Ja, schon, aber das Problem ist ja: rechts habe ich ja ein [mm] x^{3} [/mm] mitdrin und links nicht. Darf ich dann die PBZ "einfach so" machen? vermutlich nicht. Ich habe trotzdem, einfach "spaßeshalber" mal den Term mit [mm] x^{3} [/mm] ignoriert und dann ganz normal den Koeffizientenvergleich gemacht (obwohl mir klar war, dass das nicht richtig sein kann), dabei also mit dem [mm] x^{2} [/mm] Termen angefangen.
Also konkret steht ja da: [mm] 3x^{2}+5x-4 [/mm] = [mm] x^{3}(A+B)+x^{2}(3A+B-C)+x(3A-B)+(A-B-C)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (1) 3A+B-C = 3 (2) 3A-B = 5 und (3) A-B-C=-4. Das hab ich dann aufgelöst.
Mein erstes Ergebnis war [mm] B=\bruch{21}{20} [/mm] (falsch), da hab ich aufgehört.
Habe es dann mit Wegkürzen des [mm] (x+1)^{2} [/mm] durch quadratische Ergänzung versucht. Beim 2.Anlauf kam ich auf [mm] 3x^{2}+5x-4 [/mm] = [mm] 3(x^{2}+2x-\bruch{x}{3}+1-\bruch{7}{3} [/mm] = [mm] 3(x+1)^{2}-x-7 [/mm] . Dann den Term in 3 Brüche aufteilen:1.Bruch: [mm] \bruch{3}{x-1} [/mm] (schon gekürzt) 2.Bruch: [mm] \bruch{\bruch{-x}{(x+1)^{2}}}{(x-1)((x+1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-x}{(x-1)(x+1)^{4}} [/mm] 3.Bruch: [mm] \bruch{-7}{(x-1)(x+1)^{4}} [/mm] (gleicher Nenner wie bei Bruch 2) Damit hab ich schon mal einen Teil der Lösung. Zumindest sieht der 1.Bruch nach einem Teil der Lösung aus, denn die 3 stimmt (in meiner Lösung steht sie aber über dem Bruch mit dem [mm] (x+1)^{2} [/mm] im Nenner) und die Reihenfolge der Zähler ist doch im Endeffekt egal - oder?? Davon motiviert (jaaaa, immer schön positiv denken und ich habe ein Talent dafür, mich durch die winzigsten Nano-Erfolge motivieren zu können^^) wollte ich weitermachen, also mit den 2 restlichen Brüchen wieder eine PBZ aber...wie?? Vermutlich ist das alles völliger Blödsinn was ich gemacht hab und ihr lacht euch grad einen ab...vllt. bin ich aber auch GANZ NAH dran...??? *hoff*. Wer kann mir mal ein bisschen die Augen öffnen / auf die Sprünge helfen? 
lG von à la fin (ihr wisst was das heißt ^^)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Do 17.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo [mm] \text{\green{a_la_fin}}
[/mm]
wenn wir den Ansatz:
[mm] \bruch{3x^{2}+5x-4}{(x-1)(x+1)^{2}}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{(x+1)^2}
[/mm]
haben, dann kommt auch auf der rechten Seite kein Polynom raus, dass größer 2.Grades ist
Der erste Bruch wird mit [mm] (x+1)^2 [/mm] erweitert <-- [mm] A*(x+1)^2 [/mm] ist ein Polynom 2.Grades
Der zweite Bruch wird mit [mm] x^2-1 [/mm] erweitert <-- dito
Der dritte Bruch wird mit x-1 erweitert <-- erst recht dito
Rechne noch mal.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Do 17.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
[mm] \bruch{3x^{2}+5x-4}{(x-1)(x+1)^{2}}=\bruch{1}{x-1}+\bruch{2}{x+1}+\bruch{3}{(x+1)^2}
[/mm]
Lg
Herby
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[mm] f(x)=\bruch{3x^{2}+5x-4}{(x-1)(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] ...=\bruch{A}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+1)} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{A*\red{(x+1)^2}}{(x-1)*\red{(x+1)^2}} [/mm] + [mm] \bruch{B*\blue{(x^2-1)}}{(x+1)*\blue{(x^2-1)}} [/mm] + [mm] \bruch{C*\green{(x-1)}}{(x+1)^{2}*\green{(x-1)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{A*\red{(x+1)^2}+B*\blue{(x^2-1)}+C*\green{(x-1)}}{(x-1)(x+1)^{2}}=\bruch{3x^{2}+5x-4}{(x-1)(x+1)^{2}}
[/mm]
So, und jetzt den linken Zähler vereinfachen und
ihn dann mit dem rechten Zähler vergleichen !
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Fr 18.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
Danke erstmal an BEIDE Antworten!!! Mein Fehler war, dass ich auf der rechten Seite statt Hauptnenner [mm] (x-1)(x+1)^{2} [/mm] nochmal ein (x+1) dazumultipliziert hab (also [mm] (x-1)(x+1)^{3} [/mm] rechts als Hauptnenner hatte (halt ALLE Nenner zusammengefasst als HN genommen)) und das aber nicht "gemerkt" hab und gedacht hab es wär der linke (so wie's ja auch richtig gewesen wär... Fragt mich bitte NICHT wie das passieren konnte! (solche Fehler tun echt WEH kann ich euch sagen :-(). Manchmal bin ich einfach blind. (lag aber in dem Fall daran, dass ich übermüdet war...ich weiß ich weiß das ist KEINE gültige Ausrede.)
Vielen Danke für eure Geduld mit mir 
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