Partialbruchzerlegung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Kyle |
| Aufgabe | gesucht: für m<n, [mm] \alpha \neq [/mm] 0 Koeffizienten [mm] \beta_i [/mm] einer Partialbruchzerlegung der Form
[mm] \frac{z^m}{(1-\alpha z)^n} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{\beta_i}{(1-\alpha z)^i} [/mm] |
Hallo,
finde leider keine Lösung für die Koeffizienten, da ich keine Darstellung finde, um die entstehenden Summen von Binomialkoeffizienten beim Auflösen des Gleichungssystems zu schreiben.
beste grüße,
kyle
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Entwickle [mm]g(z) = z^m[/mm] um [mm]\frac{1}{\alpha}[/mm]:
[mm]z^m = \sum_{\nu=0}^n \frac{g^{(\nu)} \left( \frac{1}{\alpha} \right)}{\nu !} \left( z - \frac{1}{\alpha} \right)^{\nu}[/mm]
Verwende dies, um
[mm]\frac{z^m}{(1 - \alpha z)^n} = \sum_{\nu=0}^n \frac{(-1)^{n - \nu} \alpha^{-m} {m \choose {n - \nu}}}{(1 - \alpha z)^{\nu}}[/mm]
zu zeigen. Hierbei ist für [mm]\nu < n - m[/mm] der Binomialkoeffizient [mm]{m \choose {n - \nu}} = 0[/mm] zu setzen (alternativ kann man auch die Summation erst bei [mm]\nu = n-m[/mm] beginnen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Do 30.07.2009 | | Autor: | Kyle |
Vielen Dank! Ist auf jeden Fall schön und einfach!!
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