Partialbruchzerlegung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Partialbruchzerlegung war noch nicht Bestandteil von den Vorlsungen, die ich höre.
Es gab ab und zu mal den Fall, eine Reihe zu einer Teleskopsumme zu zerlegen, aber auch nur in den leichtesten Fällen. Ich denke, dass ich schon jetzt sehr viel leichter ein paar Aufgaben lösen könnte, wenn ich das Verfahren kennen würde.
So wie ich das verstanden habe, zerlege ich den Nenner in einzelne Faktoren (z.B. duch Auflösen einer 3. Binomischen Formel, ect.), teile dann diese Faktoren in einzelne Summanden und bestimme dann über Gleichungssysteme die passenden Zähler.
Die Beispiele bei Wikipedia sind ja (bis auf das zweite) ziehmlich verständlich.
Meine Fragen:
a) Gibt es Einschränkungen, in denen ich nicht so vorgehen kann? Muss der "Ausgangsnenner" z.B. ein Polynom sein o.Ä. sein?
b) Gibt es einen einfacheren Weg auf die Zerlegung zu kommen?
c) Warum wurde beim 2. Bsp auf Wikipedia der Bruch so zerlegt? (http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung)
Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand die Zeit nimmt und mir ein paar Tricks zeigt, auf die richtige Zerlegung zu kommen und allgemein das Wichtigste zu dem Thema zu erklären.
Ich dachte im Forum gäbe es einen Artilel darüber, ich hab ihn aber nicht gefunden...
lg Kai und Danke im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Boki87 |
Also im Nenner machst du eine Linearfaktorzerlegung. Jeder Linearfaktor wird zum Nenner eines neuen Bruchs. Im Zähler der Brüche steht jeweils eine Variabel(z.B. A, B, C....je nachdem wieviele Linearfaktoren du hast). Und natürlich kriegt jeder neue Bruch eine neue Variabel.
Jetzt der Sonderfall, z.B. der Faktor [mm] (x^2+1) [/mm] hat ja die Nullstelle +/-i. Und dann machst du in den Zähler von diesem Bruch nicht nur eine Variabel, sondern noch eine zweite mal x.
Dannach tust du mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren und machst anschließend einen Koeffizientenvergleich.
Zu deiner Frage von Wikipedia, diesen Ansatz wählst du immer wenn eine Nullstelle doppelt vorkommt.
Wenn sie mehr als doppelt vorkommt,z.B. 1 als Nullstelle k-fach vorkommt (Linearfaktor:-->(x-1)) machst du's so:
[mm] \bruch{a_1}{x-1}+\bruch{a_2}{(x-1)^2}+...+\bruch{a_k}{(x-1)^k}
[/mm]
Ich hoffe ich konnte Helfen :)
|
|
|
| |
|
Ja danke erstmal... das hilft auf jeden Fall.
Linearfaktoren sind Terme in dem die Variable nur linear vorkommt, also [mm] x\red{^1}+d?
[/mm]
lg Kai
|
|
|
| |
|
Hallo Kai,
> Ja danke erstmal... das hilft auf jeden Fall.
>
> Linearfaktoren sind Terme in dem die Variable nur linear
> vorkommt, also [mm]x\red{^1}+d?[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, wenn du ein Polynom hast und eine NST [mm] $x_0$, [/mm] kannst du den Linearfaktor [mm] $(x-x_0)$ [/mm] abspalten.
Das Nennerpolynom musst du dann weitestmöglich zerlegen, aber das wurde ja schon gesagt ...
Ach ja, eines noch im Hinblick auf das Bsp. 2 auf wiki.
Wenn der Zählergrad [mm] \ge [/mm] Nennergrad ist, immer zuerst eine Polynomdivision machen, dann hast du eine Konstante (im Bsp. eine 1) + Restbruch, in dem der Zählergrad < Nennergrad ist
Beim Restbruch dann die PBZ machen
>
> lg Kai
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay... das scheint ja gar nicht so schwer^^
Nur noch eine Frage:
Bei Nullstellendopplung soll ich ja das Nennerpolynom zerlegen in:
$ [mm] \bruch{a_1}{x-1}+\bruch{a_2}{(x-1)^2}+...+\bruch{a_k}{(x-1)^k} [/mm] $.
Aber dann ist ja (bis auf der erste Nenner) kein Nenner ein Linearfaktor, oder doch?
lg Kai
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay... das scheint ja gar nicht so schwer^^
>
> Nur noch eine Frage:
>
> Bei Nullstellendopplung soll ich ja das Nennerpolynom
> zerlegen in:
> [mm]\bruch{a_1}{x-1}+\bruch{a_2}{(x-1)^2}+...+\bruch{a_k}{(x-1)^k} [/mm].
>
> Aber dann ist ja (bis auf der erste Nenner) kein Nenner ein
> Linearfaktor, oder doch?
Doch, doch, niemand hat behauptet, dass die Linearfaktoren verschieden sein müssen 
Die Linearfaktorzerlegung bezieht sich auf das Nennerpolynom in deinem Ausgangsbruch!
Du hast also in deinem Nennerpolynom (auch) den Faktor [mm] $(x-1)^k$ [/mm] drin stehen
Das kannst du ja schreiben als [mm] $\underbrace{(x-1)(x-1)(x-1)\cdot{}.....\cdot{}(x-1)}_{k-mal}$
[/mm]
Wenn du sämtlich verschiede Nullstellen und damit sämtlich verschiedene Linearfaktoren hast, so läuft die PBZ nach dem Schema [mm] $...=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}+.....$
[/mm]
Aber sagen wir mal, du hast [mm] $\frac{2x+1}{x^4-2x^3+2x-1}$
[/mm]
Das ist [mm] $=\frac{2x+1}{(x-1)^3(x+1)}$
[/mm]
Das [mm] $(x-1)^3$ [/mm] kannst du ja bei Bedarf auch schreiben als $(x-1)(x-1)(x-1)$, dann hast du wieder "nur" Linearfaktoren
Der Ansatz hier ist also [mm] $\frac{2x+1}{x^4-2x^3+2x-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{D}{x+1}$
[/mm]
>
> lg Kai
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
