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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:30 Sa 02.02.2008
Autor: ebarni

Aufgabe
[mm]\bruch{1}{(s^{2}+1)(s+3)(s-3)}[/mm] , [mm]s \in \IC [/mm]

soll in Partialbrüche zerlegt werden.

Hallo zusammen,

der Ansatz dazu aus dem Skript lautet:

[mm]\bruch{1}{(s^{2}+1)(s+3)(s-3)} = \bruch{As+B}{s^2+1} + \bruch{C}{s+3} + \bruch{D}{s-3} [/mm]

Die beiden letzten Ausdrücke sind mir auch klar.

Aber wie kommt der Ansatz [mm] \bruch{As+B}{s^2+1}[/mm] zustande?

Hängt das mit der Nullstelle [mm] \wurzel{-1} [/mm] zusammen?

Viele Grüße, Andreas
        
Bezug
Partialbruchzerlegung: quadratischer Term
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Sa 02.02.2008
Autor: Loddar

Hallo Andreas!


Da in diesem Partialbruch im Nenner ein quadratischer Term mit [mm] $s^2+1$ [/mm] steht, muss im Zähler entsprechend ein Polynom stehen, dessen Grad um genau 1 kleiner ist; also mit [mm] $s^1$ [/mm] .

Ja, das hat mit den beiden komplexen Nullstellen [mm] $\pm\wurzel{-1} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] i$ zu tun. Denn man könnte auch so auflösen:
[mm] $$\bruch{...}{s^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{...}{(s+i)*(s-i)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A_1+A_2*i}{s+i}+\bruch{B_1+B_2*i}{s-i}$$ [/mm]
$$= \ \ [mm] \bruch{(A_1+A_2*i)*(s-i)+(B_1+B_2*i)*(s+i)}{(s+i)*(s-i)}$$ [/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\red{\left[(A_1+B_2)+i*(B_2-A_1)\right]}*s+\blue{\left[(A_2+B_2)+i*(B_1-A_1)*i\right]}}{s^2+1}$$ [/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\red{A}*s+\blue{B}}{s^2+1}$$ [/mm]

Gruß
Loddar

PS: [guckstduhier]  .  .  .  .  []Partialbruchzerlegung

Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Sa 02.02.2008
Autor: ebarni

Hallo Loddar!

Vielen Dank für Deine ausführlichen Erklärungen, hat mir (wie immer ;-) ) super gut weitergeholfen!!!!

Viele Grüße von der Provinz in die Hauptstadt!

Und ein schönes Wochenende!

Andreas
Bezug
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