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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Daystrom |
| Aufgabe | Berechne die Partialbruch-Zerlegung der beiden rationalen Funktionen:
a) [mm] r(z) := (z^4 - i):(z^3 + i) [/mm]
b) [mm] r(z) := (z - 1):(z^2 +1)^2 [/mm] |
Zu a)
Ich krieg da was ziemlich abgefahrenes raus. Mich würde interessieren, ob sich das irgendwie hingeht:
[mm] PBZ(r(z)) = z + \bruch{e^\bruch{-2\pi*i}{3} - i}{(z - e^\bruch{7*\pi*i}{6})*3*e^\bruch{-2\pi*i}{6}} + \bruch{1 - i}{-3*(z - e^\bruch{\pi*i}{2})} + \bruch{e^\bruch{14\pi*i}{3} - i}{3e^\bruch{7\pi*i}{3}(z - e^\bruch{7\pi*i}{6})} [/mm]
zu b)
Da ist ja der Grad des Nennerpolynoms größer als der Grad des Zählerpolynoms. Wie geh ich da vor? Wenn ich nach dem Algorithmus vorgehe, den ich an der Uni gelernt habe, würde da 0 rauskommen, aber das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen.
ciao
Phil
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Do 18.05.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
ich benutze für die PBZ immer die x+iy Darstellung, da man mit dieser viel
leichter addieren kann, was man beim PBZ viel eher braucht als multiplizieren.
Die exp-Darstellung ist wirklich nur für multiplizieren brauchbar.
Also zum vereinfachen von Brüchen, ist meistens die x+iy Darstellung sinnvoll.
zu deiner Aufgabe a, den mittleren Bruch hab ich genau wie du, für die anderen
müsste ich erst umrechnen.
zu b)
in deinem Algorithmus führst du zuerst eine Polynomdivision durch oder?
Der Zweck der PD ist doch den Grad des Zählers kleiner zu machen.
Da das bei b) schon der Fall ist, kannst de Schritt auslassen.
Denn damit du die PBZ durchführen kannst ist ja Vorraussetzung, das
der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms.
b) [mm]r(z) := (z - 1):(z^2 +1)^2 = \frac{z - 1}{(z-i)^2*(z+i)^2}=\frac{A}{z-i}+\frac{B}{(z-i)^2}+\frac{C}{z+i}+\frac{D}{(z+i)^2}[/mm]
Noch nach A,B,C und D auflösen und deine PBZ ist fertig.
MfG
metzga
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Do 18.05.2006 | | Autor: | Daystrom |
| Aufgabe | | [mm]r(z) := (z - 1):(z^2 +1)^2 = \frac{z - 1}{(z-i)^2*(z+i)^2}=\frac{A}{z-i}+\frac{B}{(z-i)^2}+\frac{C}{z+i}+\frac{D}{(z+i)^2}[/mm] |
Darf ich dich fragen, wie du auf die Brüche kommst, bzw. wie du auf die Nenner kommst?
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Partialbruchzerlegung
