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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:58 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Für Funktionen f und g, die für |x| < 1/2 durch f(x) = x, g(x) = [mm] x^2 [/mm] gegeben sind und die Periode 1 haben, rechne man beide Seiten der Parsevalschen Gleichung aus. Was ergibt sich? |
Hallo,
hab hier mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht so recht weiterkomm.
Die Parsevalsche Gleichung ist ja folgendes:
[mm] \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2 [/mm] = [mm] \| [/mm] f [mm] \|^2.
[/mm]
Die linke Seite ist ja die Summe der quadrierten Fourierkoeffizienten, wenn ich das richtig sehe, also müsste ich für f berechnen:
[mm] c_n [/mm] = [mm] \int_a^{a+1} [/mm] x [mm] \cdot e^{-2 \pi i n x} [/mm] dx und das ist mit Hilfe der Produktintegration:
[mm] c_n= [/mm] x [mm] \cdot e^{-2 \pi i n x} [/mm] + [mm] \frac{1}{4 \pi^2 n^2 x^2} (e^{-2 \pi i n (a+1)} [/mm] - [mm] e^{-2 \pi i n a}
[/mm]
Stimmt das denn so weit? Kann man das denn noch weiter vereinfachen?
Und für die rechte Seite müsste gelten:
[mm] \| [/mm] f [mm] \|_2 [/mm] = [mm] \sqrt{ \int |f(x)|^2} [/mm] , aber von wo bis wo muss ich das integrieren? von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] ? Also das versteh ich nicht, dann hätte ich ja [mm] (\int x^2 dx)^{(1/2)} [/mm] = [mm] ([\frac{1}{3} x^3)^{(1/2)} [/mm] , aber die Grenzen?
Und die 1-Periodizität muss man bestimmt auch noch irgendwie ausnutzen können..., nur wie?
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley,
> Für Funktionen f und g, die für |x| < 1/2 durch f(x) = x,
> g(x) = [mm]x^2[/mm] gegeben sind und die Periode 1 haben, rechne man
> beide Seiten der Parsevalschen Gleichung aus. Was ergibt
> sich?
> Hallo,
> hab hier mal wieder eine Aufgabe bei der ich nicht so
> recht weiterkomm.
> Die Parsevalsche Gleichung ist ja folgendes:
>
> [mm]\sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2[/mm] = [mm]\|[/mm] f [mm]\|^2.[/mm]
>
> Die linke Seite ist ja die Summe der quadrierten
> Fourierkoeffizienten, wenn ich das richtig sehe, also
> müsste ich für f berechnen:
>
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\int_a^{a+1}[/mm] x [mm]\cdot e^{-2 \pi i n x}[/mm] dx und das ist
> mit Hilfe der Produktintegration:
>
> [mm]c_n=[/mm] x [mm]\cdot e^{-2 \pi i n x}[/mm] + [mm]\frac{1}{4 \pi^2 n^2 x^2} (e^{-2 \pi i n (a+1)}[/mm]
> - [mm]e^{-2 \pi i n a}[/mm]
>
> Stimmt das denn so weit? Kann man das denn noch weiter
> vereinfachen?
>
hm, hast du es auch mal mit der reellen variante versucht: die eine funktion ist ja ungerade, die andere gerade, dh. du muesstest dann jeweils nur die sin oder nur die cos-koeffizienten berechnen. fuer mich wuerde dadurch alles ein wenig uebersichtlicher werden....
> Und für die rechte Seite müsste gelten:
>
> [mm]\|[/mm] f [mm]\|_2[/mm] = [mm]\sqrt{ \int |f(x)|^2}[/mm] , aber von wo bis wo muss
> ich das integrieren? von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] ? Also das
> versteh ich nicht, dann hätte ich ja [mm](\int x^2 dx)^{(1/2)}[/mm]
> = [mm]([\frac{1}{3} x^3)^{(1/2)}[/mm] , aber die Grenzen?
> Und die 1-Periodizität muss man bestimmt auch noch
> irgendwie ausnutzen können..., nur wie?
>
ich denke, du sollst die aussage hier nur auf dem intervall [-1/2,1/2] zeigen.
gruss
matthias
> Viele Grüße,
> Riley
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:26 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
> hm, hast du es auch mal mit der reellen variante versucht:
> die eine funktion ist ja ungerade, die andere gerade, dh.
> du muesstest dann jeweils nur die sin oder nur die
> cos-koeffizienten berechnen. fuer mich wuerde dadurch alles
> ein wenig uebersichtlicher werden....
Nein, hab ich noch nicht versucht. Wir haben im Skript und in der VL nur die komplexe Variante aufgeschrieben, deshalb dachte ich es müsste auch so funktionieren...?
Kann man die reelle Variante nehmen, weil f und g Funktionen über [mm] \IR [/mm] sind?
> ich denke, du sollst die aussage hier nur auf dem intervall
> [-1/2,1/2] zeigen.
Wie kommst du gerade auf das Intervall?
Dann hätten wir
[mm] \|f\|_2 [/mm] = ( [mm] \int_{-1/2}^{1/2} x^2 dx)^{1/2} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{12}} [/mm] ?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 28.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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