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Pareto-Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Mi 02.09.2009
Autor: mathe-un-pro

Hallo, hier eine UAfgabe bei der ich nicht auf das Ergebnis komme...

Die zur Reparatur eine Maschine benötigte Menge Schweröl werde durch eine Pareto-verteilte Zufallsvariable mit den Parametern [mm]x_0[/mm]=1 Liter und [mm] \varepsilon [/mm] =4 beschrieben. Ein Unternehmen erhält den Auftrag, 60 gleichartige Maschinen zu raparieren. Wie groß ist (näherungsweise) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zur Verfügung stehende Vorrat von 81 Litern Schweröl für alle Maschinen ausreicht.

das Ergebnis soll 0,61 sein!

Ich habe bereits Var(X) und E(X) berechnet, bin mir aber absolut nicht klar darüber, wie ich die 60 Maschinen und 81L Schweröl ind die Verteilungsfunktion F(X)= 1-([mm]\bruch{x_o}{x}[/mm][mm] )^\varepsilon [/mm] einbauen kann.

Danke im Voraus für eure Hilfe


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Pareto-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:18 Mi 02.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo, hier eine Aufgabe bei der ich nicht auf das Ergebnis
> komme...
>  
> Die zur Reparatur einer Maschine benötigte Menge Schweröl
> werde durch eine Pareto-verteilte Zufallsvariable mit den
> Parametern [mm]x_0[/mm]=1 Liter und [mm]\varepsilon[/mm] =4 beschrieben. Ein
> Unternehmen erhält den Auftrag, 60 gleichartige Maschinen
> zu reparieren. Wie groß ist (näherungsweise) die
> Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zur Verfügung stehende
> Vorrat von 81 Litern Schweröl für alle Maschinen
> ausreicht.
>  
> das Ergebnis soll 0,61 sein!
>  
> Ich habe bereits Var(X) und E(X) berechnet, bin mir aber
> absolut nicht klar darüber, wie ich die 60 Maschinen und
> 81L Schweröl ind die Verteilungsfunktion F(X)=
> 1-([mm]\bruch{x_o}{x}[/mm][mm] )^\varepsilon[/mm] einbauen kann.



Hallo,

Die [mm] E(X)=E_1(X) [/mm] und [mm] Var(X)=Var_1(X), [/mm] die du schon
berechnet hast, beziehen sich wohl auf die Pareto-
Verteilung für eine einzige Maschine.  Zahlenwerte ?

Als Summe von 60 identischen Verteilungen ist
der Ölverbrauch für alle Maschinen zusammen
annähernd normalverteilt. Bestimme also aus den
vorliegenden Werten [mm] E_1(X) [/mm] und [mm] Var_1(X) [/mm] die entspre-
chenden Werte [mm] E_{60}(X) [/mm] und [mm] Var_{60}(X) [/mm] , das ist ganz leicht.
Anschliessend dann die Rechnung mit der Normal-
verteilung, deren Prinzip dir wohl bekannt ist.

LG    Al-Chw.
Bezug
                
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Pareto-Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Mi 02.09.2009
Autor: mathe-un-pro

Für [mm]E_1(X)[/mm] habe ich [mm] \bruch{4}{3} [/mm] errechnet, für [mm]Var_1(x)[/mm] [mm] \bruch{4}{18}. [/mm] Demnach müsste [mm]E_6_0(X)[/mm] = 80 und [mm]Var_6_0(X)[/mm] = [mm] \bruch{40}{3} [/mm] sein. Diese Werte sollen in die Verteilungsfunktion der Normalverteilung eingesetzt werden? Was passiert dabei mit den 81l und welchen Wert nimmt X in dem Falle an?
Bezug
                        
Bezug
Pareto-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mi 02.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Für [mm]E_1(X)[/mm] habe ich [mm]\bruch{4}{3}[/mm] errechnet,    [ok]
> für [mm]Var_1(x)[/mm] [mm]\bruch{4}{18}.[/mm]    [ok]

(könnte man kürzen ...)

> Demnach müsste [mm]E_{60}(X)[/mm] = 80 und [mm]Var_{60}(X) =\bruch{40}{3}[/mm] sein.
> Diese Werte sollen in die
> Verteilungsfunktion der Normalverteilung eingesetzt werden?
> Was passiert dabei mit den 81 l und welchen Wert nimmt X in
> dem Falle an?

Der gesamte Oelverbrauch für die 60 Maschinen
ist also (fast exakt) normalverteilt mit [mm] $\mu\ [/mm] =\ 80$ und
[mm] $\sigma\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{\bruch{40}{3}}\approx3.651$ [/mm] .
Nun rechnet man durch die Substitution $\ z\ =\ [mm] \frac{x-\mu}{\sigma}$ [/mm]
auf die Standardnormalverteilung um. Also ist

     $\ [mm] P(x\le [/mm] 81)\ =\ [mm] P\left(z\le \frac{81-80}{3.651}\right)\ [/mm] =\ [mm] P(z\le [/mm] 0.2739)$

Das Ergebnis erhält man dann durch Nachschlagen
und Interpolieren in einer Tabelle der Standardnormal-
verteilung, zum Beispiel da: []Tabelle

LG    Al-Chw.



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