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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR, [/mm] a>0. Gegeben sei eine Kurve mit Parametrisierung
[mm] f:\IR \to \IR^3 [/mm] mit t [mm] \mapsto [/mm] (a*cos(t),a*sin(t),bt).
Parametrisieren Sie f nach der Bogenlänge! |
Hallo Leute!
Ich brauche mal wieder eure Hilfe!
Das Schema der Parametrisierung nach der Bogenlänge habe ich verstanden.
Ich kenne die Aufgaben allerdings nur für Funktionen f:[a,b] [mm] \to \IR^3, [/mm] also mit einem abgeschlossenen Intevall [a,b], denn dann ist die Bogenlängefunktion gerade
[mm] \integral_{a}^{b}{||f'(t)|| dt}.
[/mm]
Was mache ich aber jetzt, wenn die Funktion (wie oben) auf komplett [mm] \IR [/mm] definiert ist? Unser Prof meinte einfach, dass man die Integrationsgrenzen von 0 bis zu einem u wählen soll.
Kann mir jemand erklären, wieso das so ist? Und muss ich die Integrationsgrenzen so wählen oder darf ich auch einfach ein Intervall von bspweise x nach y zugrunde legen?
Danke vorab!
Euer Mathec
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Hallo Mathec,
> Seien a,b [mm]\in \IR,[/mm] a>0. Gegeben sei eine Kurve mit
> Parametrisierung
> [mm]f:\IR \to \IR^3[/mm] mit t [mm]\mapsto[/mm] (a*cos(t),a*sin(t),bt).
> Parametrisieren Sie f nach der Bogenlänge!
> Hallo Leute!
> Ich brauche mal wieder eure Hilfe!
> Das Schema der Parametrisierung nach der Bogenlänge habe
> ich verstanden.
> Ich kenne die Aufgaben allerdings nur für Funktionen
> f:[a,b] [mm]\to \IR^3,[/mm] also mit einem abgeschlossenen Intevall
> [a,b], denn dann ist die Bogenlängefunktion gerade
> [mm]\integral_{a}^{b}{||f'(t)|| dt}.[/mm]
> Was mache ich aber
> jetzt, wenn die Funktion (wie oben) auf komplett [mm]\IR[/mm]
> definiert ist? Unser Prof meinte einfach, dass man die
> Integrationsgrenzen von 0 bis zu einem u wählen soll.
> Kann mir jemand erklären, wieso das so ist? Und muss ich
> die Integrationsgrenzen so wählen oder darf ich auch
> einfach ein Intervall von bspweise x nach y zugrunde
> legen?
>
Gesucht ist die Bogenlänge s in Abhängigkeit des Parameters t.
Die Definition ist doch:
[mm]s\left(t\right)=\integral_{a}^{b}{||f'(t)|| \ dt}.[/mm]
Der Bezugspunkt ist hier a, der jedoch für alle b fest gewählt ist.
Für a=b gilt hier s(a)=0.
Daher wird günstigerweise a=0 gewählt.
> Danke vorab!
> Euer Mathec
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Mathec |
hi!
danke erstmal für die antwort!
würde es einen unterschied machen, wenn ich dennoch von x bis y intergriere, wobei [x,y] ein reelles Intervall ist?
Dann ist die Parametrisierung ja in Abhängigkeit davon....
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Hallo Mathec,
> hi!
> danke erstmal für die antwort!
> würde es einen unterschied machen, wenn ich dennoch von x
> bis y intergriere, wobei [x,y] ein reelles Intervall ist?
Falls [mm]x \not=0[/mm] fest gewählt macht es einen Unterschied.
Dann hast Du nämlich die Bogenlänge in Bezug auf dieses x angegeben.
> Dann ist die Parametrisierung ja in Abhängigkeit
> davon....
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Mathec |
hmmm ok, und genau das ist der Punkt. Auch wenn die Parametrisierung dann in Abhängigkeit von x ist, ist die Kurve ja trotzdem nach der Bogenlänge parametrisiert...nur das halt dann das x immer auftaucht.
Ist dieser Unterschied, von dem wir reden erlaubt, oder darf das x nicht vorkommen???
also ich sollte dann immer Skalare wählen? z.B. a=2 oder 5... aber nie ein festes x???
danke nochmal 
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Hallo Mathec,
> hmmm ok, und genau das ist der Punkt. Auch wenn die
> Parametrisierung dann in Abhängigkeit von x ist, ist die
> Kurve ja trotzdem nach der Bogenlänge parametrisiert...nur
> das halt dann das x immer auftaucht.
> Ist dieser Unterschied, von dem wir reden erlaubt, oder
> darf das x nicht vorkommen???
Dieses "x" darf nicht vorkommen.
> also ich sollte dann immer Skalare wählen? z.B. a=2 oder
> 5... aber nie ein festes x???
Der Bezugspunkt "x" muss fest sein.
Wählst Du [mm]x \not= 0[/mm], so ist dann nach Definition s(x)=0.
Es muss aber gelten s(0)=0. Somit muß x=0 sein.
> danke nochmal
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Mathec |
ok, ich habs verstanden!
vielen dank!
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