Parametrisierung (Bogenlänge) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld f : [mm] R^2 →R^2, [/mm] f(x, y) = (y sin x+ xy cos x, x sin x −2 sin(2y)). Außerdem
sei [mm] \gamma [/mm] der nach Bogenlänge parametrisierte Weg von (0, 0) nach [mm] (\pi/2,\pi/2 [/mm] ) im Uhrzeigersinn
entlang des Randes vom Kreis mit Mittelpunkt (0, [mm] \pi/2 [/mm] ) und Radius [mm] \pi/2 [/mm] . Berechnen Sie
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f ds}
[/mm]
(Hinweis: Begründen Sie, dass D = [mm] B_2((0, \pi/2 [/mm] )) ein sternförmiges Gebiet ist und überlegen Sie,
welche nützliche Eigenschaft zur einfachen Berechung von Kurvenintegralen das Vektorfeld f
auf D besitzt.)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche mich gerade an der obigen Aufgabe, jedoch habe ich dass Gefühl entweder alles falsch oder zumindest wesentlich umständlicher als nötig zu machen.
Den Hinweis habe ich nicht beachtet, deswegen auch in Klammern gesetzt. Der besagt ja dass man an sich auf die Parametrisierung verzichten kann, wenn man einfach nur die Potentialfunktion bildet und dann die Punkte entsprechend des Hauptsatzes der Integralrechnung einsetzt. Ich hoffe das stimmt so, falls nicht korrigiert mich bitte, jedoch möchte ich die Aufgabe zunächst mittels Wegintegrals lösen.
Hier sind meine bisherigen Rechenschritte:
Für die Parametrisierung habe ich nun folgendes gemacht:
Durch Überlegen und Probieren habe ich
[mm] \gamma(t)=\vektor{-\pi/2*sin(t) \\ \pi/2*(1-cos(t)} [/mm] mit t [mm] \in [/mm] [0, [mm] 3\pi/2]
[/mm]
herausbekommen (auf den ersten Blick gefiel mir das auch noch ganz gut).
Anschließend habe ich abgeleitet und den Absolutbetrag gebildet:
[mm] c'(t)=\pi/2*\vektor{-cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
[mm] \wurzel{\pi^2/4(cos^2(t)+sin^2(t))}=\pi/2
[/mm]
dann habe ich die Formel
[mm] s(t)=\integral_{t_0}^{t}{||c' (\tau) ||) d \tau}
[/mm]
benutzt:
s(t)= [mm] \pi* \integral_{0}^{t}{(\pi/2) dt}=(pi/2)*t
[/mm]
[mm] s=\pi/2*t [/mm] s [mm] \in [0,(3/4)\pi^2]
[/mm]
und nach t umgestellt:
[mm] t=2*s/\pi
[/mm]
weiterhin habe ich dies in c(t) eingesetzt und erhalte
[mm] c(s)=\pi/2 *\vektor{-sin(2*s/\pi) \\ 1-cos(2*s/\pi)}
[/mm]
für c´(s) ergibt sich:
[mm] c'(s)=\vektor{-cos(2*s/\pi) \\ sin(2*s/\pi)}
[/mm]
aber wenn ich dies nun in
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f ds}=\integral_{\gamma}^{}{f(\gamma(s))*\gamma´(s) ds}
[/mm]
einsetze bekomme ich nur Murks. Ich hab die arge Vermutung dass da irgendwo groben Unfug gemacht habe.
Was habe habe ich nun falsch bzw umständlich gemacht? gibt es eine einfachere Parametrisierung oder hab ich mich irgendwo total verhauen?
Danke schonmal für eure Tipps
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 14.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Es hat sich ein Fehler eingeschlichen, korrekt müsste es heißen:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f ds}=\integral_{\gamma}^{}{f(\gamma(s))\cdot{}\gamma'(s) ds}
[/mm]
kann mir irgendwer sagen wo ich nun den Fehler gemacht habe?
Danke schonmal für eure Bemühungen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Kroni |
> Es hat sich ein Fehler eingeschlichen, korrekt müsste es
> heißen:
>
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f ds}=\integral_{\gamma}^{}{f(\gamma(s))\cdot{}\gamma'(s) ds}[/mm]
>
>
> kann mir irgendwer sagen wo ich nun den Fehler gemacht
> habe?
>
> Danke schonmal für eure Bemühungen
>
>
Hi,
ich schreibe die Antwort auf die obere Frage.
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Kroni |
> Gegeben sei das Vektorfeld f : [mm]R^2 →R^2,[/mm] f(x, y) = (y
> sin x+ xy cos x, x sin x −2 sin(2y)). Außerdem
> sei [mm]\gamma[/mm] der nach Bogenlänge parametrisierte Weg von (0,
> 0) nach [mm](\pi/2,\pi/2[/mm] ) im Uhrzeigersinn
> entlang des Randes vom Kreis mit Mittelpunkt (0, [mm]\pi/2[/mm] )
> und Radius [mm]\pi/2[/mm] . Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f ds}[/mm]
>
>
>
>
>
> (Hinweis: Begründen Sie, dass D = [mm]B_2((0, \pi/2[/mm] )) ein
> sternförmiges Gebiet ist und überlegen Sie,
> welche nützliche Eigenschaft zur einfachen Berechung von
> Kurvenintegralen das Vektorfeld f
> auf D besitzt.)
>
>
>
>
> Den Hinweis habe ich nicht beachtet, deswegen auch in
> Klammern gesetzt. Der besagt ja dass man an sich auf die
> Parametrisierung verzichten kann, wenn man einfach nur die
> Potentialfunktion bildet und dann die Punkte entsprechend
> des Hauptsatzes der Integralrechnung einsetzt. Ich hoffe
> das stimmt so, falls nicht korrigiert mich bitte, jedoch
> möchte ich die Aufgabe zunächst mittels Wegintegrals lösen.
Hi,
da könnte das Problem liegen. Mit dem "Hinweis" gehts deutlich einfacher, weil du da den Satz von Stokes anwenden kannst.
>
>
> Hier sind meine bisherigen Rechenschritte:
>
> Für die Parametrisierung habe ich nun folgendes gemacht:
> Durch Überlegen und Probieren habe ich
>
> [mm]\gamma(t)=\vektor{-\pi/2*sin(t) \\ \pi/2*(1-cos(t)}[/mm] mit t
> [mm]\in[/mm] [0, [mm]3\pi/2][/mm]
>
> herausbekommen (auf den ersten Blick gefiel mir das auch
> noch ganz gut).
Ja, das beschreibt deinen Kreis, den du gehen sollst.
>
> [mm]c(s)=\pi/2 *\vektor{-sin(2*s/\pi) \\ 1-cos(2*s/\pi)}[/mm]
>
> für c´(s) ergibt sich:
>
> [mm]c'(s)=\vektor{-cos(2*s/\pi) \\ sin(2*s/\pi)}[/mm]
>
> aber wenn ich dies nun in
>
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f ds}=\integral_{\gamma}^{}{f(\gamma(s))*\gamma´(s) ds}[/mm]
>
>
> einsetze bekomme ich nur Murks. Ich hab die arge Vermutung
> dass da irgendwo groben Unfug gemacht habe.
Ich verstehe dort nicht, was du machen willst. Wenn du ne Parametrisierte Kurve hast, dann kannst du das Integral doch einfach aus
[mm] $\int_0^{3/2\pi} dt\, $ [/mm]
ausrechnen, wobei $<,>$ das Skalarprodukt meint.
Du kannst das auch sauber herleiten mit Differentialformen, dass dem so ist.
Von daher einfach deinen Weg nach t ableiten, was du ja schon getan hast, dann für jedes x in f(x,y) die x-komponente von [mm] $\gamma$ [/mm] einsetzten, bei y analog. Dann das Skalarprodukt von f(t) und [mm] $\frac{d\gamma}{dt}$ [/mm] berechnen, und dann über t integrieren.
LG
Kroni
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> Was habe habe ich nun falsch bzw umständlich gemacht? gibt
> es eine einfachere Parametrisierung oder hab ich mich
> irgendwo total verhauen?
>
>
> Danke schonmal für eure Tipps
>
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ich soll ja nicht nur irgendeine Parametrisierung nehmen sondern der Weg soll ja nach Bogenlänge parametrisiert sein, deswegen betreibe ich diesen Umstand.
Ob das richtig ist weiß ich ja eben nicht, da ich das mit "nach Bogenlänge parametrisiert" nicht verstanden habe. Ich habe da einfach nur die Musterlösung einer ähnlichen Aufgabe angeschaut und die Schritte auf diese Aufgabe übertragen.
Was müsste ich denn machen um meine Parametrisierung zu einer Parametrisierung nach Bogenlänge zu machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 16.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um einen Kreis nach Bogenlaenge zu par. gehst du zu umstaendlich vor. dass die Bogenlaenge [mm] \phi*r [/mm] ist weiss man beim Kreis.
Trotzdem solltest du den Hinweis benutzen, dein Wegintegral wir auf jeden fall unschoen.
Gruss leduart
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