Parameterkurve < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mi 13.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Skizzieren Sie den graphen der folgenden Parameterkurven und bestimmen Sie die expliziten Darstellungen (wenn möglich):
x=sin(4t); y=cos(2t), t [mm] \in[0;2\pi]
[/mm]
x=sin(3t); y=cos(2t), t [mm] \in[0;2\pi] [/mm] |
Habe beide Graphen skizziert nun habe ich noch eine Frage zur expliziten Darstellung:
habe erst x nach t aufgelöst:
[mm] \bruch{arcsin(x)}{4}=t
[/mm]
und dann in y=cos(2t) eingesetzt:
[mm] y=cos(\bruch{arcsin(x)}{2})
[/mm]
Kann man da jetzt noch irgendwas vereinfachen?
Könnte das ganze ja auch als
[mm] y=\sqrt{1-sin^2(\bruch{arcsin(x)}{2})}
[/mm]
oder
[mm] y=cos^2(\bruch{arcsin(x)}{4})-sin^2(\bruch{arcsin(x)}{4})
[/mm]
schreiben nur bringt mir das glaube ich nichts?
Das gleiche gilt für die zweite Teilaufgabe:
x=sin(3t); y=cos(2t), t [mm] \in[0;2\pi]
[/mm]
[mm] t=\bruch{arcsin(x)}{3}
[/mm]
[mm] y=cos(2*\bruch{arcsin(x)}{3})
[/mm]
bzw:
[mm] y=\sqrt{1-sin^2(2*\bruch{arcsin(x)}{3})}
[/mm]
oder
[mm] y=cos^2(\bruch{arcsin(x)}{3})-sin^2(\bruch{arcsin(x)}{3})
[/mm]
Reicht es hier mit dem einsetzen von t oder kann da noch was vereinfacht werden?
Danke und Gruß,
tedd
|
|
| |
|
Hi tedd !
Die Ausdrücke mit geschachtelten sin, cos und arcsin, arccos
sind nicht sehr geeignet. Man sollte hier versuchen, mittels
Additionstheoremen zu einfacheren Gleichungen zu kommen.
Für die erste Kurve
x=sin(4t); y=cos(2t), t [mm]\in[0;2\pi][/mm]
kann man mit u=2t eine einfachere Parametrisierung haben:
x=sin(2u); y=cos(u), u [mm]\in[0;4\pi][/mm]
Ferner gilt x=sin(2u)=2*sin(u)*cos(u) und
[mm] x^2=4*sin^2(u)*cos^2(u)=4*(1-cos^2(u))*cos^2(u)=4*(1-y^2)*y^2
[/mm]
[mm] 4y^4+x^2-4y^2=0 [/mm] ist eine implizite Kurvendarstellung.
Man könnte sie nach x oder nach y auflösen (jeweils alle
möglichen Teillösungen berücksichtigen !)
LG al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 23.11.2008 | | Autor: | tedd |
Sorry das ich das hier nochmal hoch hole...
Ist dmals wohl ein bisschen bei mir untergegangen, da mir die AUfgabe doch irgendwie zu kompliziert war und irgendwie auch noch ist...
ALso das zeichnen ist kein Problem mit genug Werten und einer Wertetabelle...
kann man denn
x=sin(4t); y=cos(2t), t $ [mm] \in[0;2\pi] [/mm] $ vernünftig in eine explizite Form bringen?
denn wenn ich:
arcsin auf x=sin(4t) anwende
dann habe ich einmal:
[mm] 4t=arcsin(x)+k*2*\pi \wedge 4t=\pi-arcsin(x)+k*2*\pi
[/mm]
[mm] t=\bruch{arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2} \wedge t=\bruch{\pi-arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2}
[/mm]
mein t soll aber nur [mm] \in [0;2\pi] [/mm] sein,
also muss für
[mm] t=\bruch{arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2} [/mm] x [mm] \in [/mm] [0;1] sein, denn dann ist der Wertebereich innerhalb [mm] [0;2\pi]
[/mm]
für
[mm] t=\bruch{\pi-arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2} [/mm] könnte mein x [mm] \in [/mm] [-1;1] sein.
Jetzt kann mein k aber auch nicht mehr beliebig sein wegen t $ [mm] \in[0;2\pi] [/mm] $
Für [mm] t=\bruch{arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2}
[/mm]
kann mein k doch maximal (weil arcsin(x) maximal [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] werden kann)
[mm] \bruch{\bruch{\pi}{2}}{4}+\bruch{k*\pi}{2}=2*\pi
[/mm]
[mm] k=\bruch{15}{4}
[/mm]
werden, also maximal 3 sonst bin ich über [mm] 2\pi [/mm] drüber
Für
[mm] t=\bruch{\pi-arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2}
[/mm]
müsste das gleiche gelten.
Wenn ich jetzt beides in die andere gleichung einsetze bekomme ich doch
[mm] y(x)=cos(2*\bruch{arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2})
[/mm]
[mm] y(x)=cos(\bruch{arcsin(x)}{2}+k*\pi)
[/mm]
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] y(x)=cos(2*\bruch{\pi-arcsin(x)}{4}+\bruch{k*\pi}{2})
[/mm]
[mm] y(x)=cos(\bruch{\pi-arcsin(x)}{2}+k*\pi)
[/mm]
Das [mm] k*\pi [/mm] könnte ich ja irgendwie rauskriegen über
[mm] cos(a+\pi)=-cos(a)
[/mm]
bzw [mm] cos(a+2\pi)=cos(a) [/mm] nur wie ganu wüsste ich auch nicht und übers additionstheorem kriege ich das [mm] \bruch{arcsin(x)}{2} [/mm] glaub ich auch nicht raus.
Kann man das irgendwie einfacher/besser explizit machen?
Sorry nochmal fürs raufholen und danke wenn ich eine Antwort kriege 
Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
Hallo tedd,
Sich mit den Umkehrfunktionen arcsin und arccos
und deren (vieldeutigen) Ergänzungen herumzu-
plagen, ist wohl nicht die beste, und sicher nicht
die angenehmste Methode.
Um aus der Parameterdarstellung
[mm]x=sin(4t)\ ,\quad y=cos(2t)\ ;\qquad t\in[0;2\pi][/mm]
eine "trigonometriefreie" Gleichung zu machen,
würde ich zuallererst 2*t=u setzen. Dann haben wir:
[mm]x=sin(2u)\ ,\quad y=cos(u)\ ;\qquad u\in[0;4\pi][/mm]
Zweitens kommt die Doppelwinkelformel für den
Sinus zum Zug:
[mm]x=2*sin(u)*cos(u)\ ,\quad y=cos(u)\ ;\qquad u\in[0;4\pi][/mm]
Dann machen wir eine zweite Substitution: c=cos(u)
und benützen, dass [mm] sin(u)=\pm\wurzel{1-c^2}
[/mm]
[mm]x=\ \pm 2*\wurzel{1-c^2}*c\ ,\quad y=c\ ;\qquad c\in[-1;1][/mm]
Nun können wir auf den Parameter c verzichten
und x explizit durch y ausdrücken:
[mm]x=\ \pm 2*y*\wurzel{1-y^2}\ ;\qquad y\in[-1;1][/mm]
Die explizite Darstellung in der Form y=Funktion(x)
ist komplizierter und enthält jeweils 4 Varianten.
Besser ist es, gar nicht auf einer expliziten Formel
zu beharren, sondern die Kurve durch eine implizite
Gleichung zu beschreiben:
[mm] \bruch{x^2}{4}+y^4-y^2=0
[/mm]
Gruß
al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 26.11.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Al-Chwarizmi,
Musste noch ein bisschen über der Aufgabe brüten, bis ich deinen Weg vollständig verstanden hab, aber jetzt habe ich es verstanden
Danke vielmals.
Zu
x(t)=sin(3t), y(t)=cos(2t), t [mm] \in [0;2\pi]
[/mm]
bleibt mir da was anderes übrig als langwierige Fallunterscheidungen zu machen?
Könnte natürlich noch so schreiben:
[mm] x(t)=3*sin(t)-4*sin^3(t), y(t)=cos^2(t)-sin^2(t), [/mm] t [mm] \in [0;2\pi]
[/mm]
Aber ich seh nicht, das mir hier eine Substitution weiterhelfen könnte.
Also bisher war mein Weg, arcsin auf x(t)=sin(3t) anzuwenden.
[mm] t=\bruch{1}{3}arcsin(x)+k*\bruch{2}{3}\pi
[/mm]
[mm] \wedge t=\bruch{1}{3}\pi-\bruch{1}{3}arcsin(x)+k*\bruch{2}{3}\pi
[/mm]
All nötigen Fälle beachten, also wann liegt der wertebereich für bestimmte x und k noch in [mm] [0;2\pi]
[/mm]
und diese dann in y(t) einsetzen.
Aber da muss man sehr viel beachten und ich bin bisjetzt noch zu keinem vernünftigem Ergebnis gekommen...
Danke und besten Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
> x(t)=sin(3t), y(t)=cos(2t), t [mm]\in [0;2\pi][/mm]
> bleibt mir da
> was anderes übrig als langwierige Fallunterscheidungen zu
> machen?
>
> Könnte natürlich noch so schreiben:
>
> [mm]x(t)=3*sin(t)-4*sin^3(t), y(t)=cos^2(t)-sin^2(t),[/mm] t [mm]\in [0;2\pi][/mm]
Hallo tedd,
für die meisten praktischen Zwecke ist die Parameter-
darstellung dieser Lissajous-Kurven eigentlich die
beste und handhabbarste; die Parameterdarstellung
ist ja auch explizit, als Abbildung [mm] \IR\to\IR^2 [/mm] .
Nun gut, wenn man die Trigonometrie eliminieren
will, so kann man dies auch hier versuchen.
Ich schreibe einmal abkürzend s und c anstelle von
sin(t) und cos(t). Dann ist
(1) [mm] x=3s-4s^3
[/mm]
(2) [mm] y=c^2-s^2
[/mm]
(3) [mm] y=1-2s^2
[/mm]
(4) [mm] s^2=\bruch{1-y}{2}
[/mm]
(5) [mm] x^2=(3s-4s^3)^2
[/mm]
Multipliziert man (5) aus, erhält man nur gerade
Potenzen von s. Diese kann man wegen (4) durch
Ausdrücke in y ersetzen und kommt so zu einer
impliziten Gleichung in x und y. Die ist dann aber
eher kompliziert ...
LG
|
|
|
|
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
